Los cuaterniones

CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Formulación del Problema:
Establecer las propiedades algebraicas de los cuaterniones de Hamilton y determinar las estructuras que caracterizan dicho conjunto.
1.2 Preguntas de Investigación:
a. ¿Cuáles propiedades algebraicas cumple el conjunto de los cuaterniones de Hamilton?
b. ¿El conjunto de los cuaterniones tiene estructura de anillo y deespacio vectorial?
c. ¿Existe algún supuesto que permita verificar la conmutatividad del producto de cuaterniones?
1.3 Objetivos del Estudio.
1.3.1 Objetivo General:
Determinar qué tipo de estructuras algebraicas satisfacen los cuaterniones de Hamilton.
1.3.2 Objetivo Específico:
Demostrar las propiedades algebraicas de los cuaterniones de Hamilton.
1.4 Justificación del Estudio
Estainvestigación se hace para establecer las propiedades algebraicas de los cuaterniones e identificar las estructuras que satisfacen citado conjunto.
Los cuaterniones no son únicamente una curiosidad algebraica. Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados, como el teorema dado por Lagrange que dice que todo número natural npuede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.
Los cuaterniones en física representan rotaciones en el espacio. Son a menudo utilizados en gráficos por computadora y en el análisis geométrico asociado para representar la orientación de un objeto en un espaciotridimensional.
El uso de los cuaterniones ofrece la ventaja de tener una representación no singular, más compacta y más rápida que las matrices.
El estudio de la estructura de los cuaterniones posibilita una mayor comprensión de la complejidad que presentan las rotaciones en el espacio tridimensional en cuanto a su no conmutatividad para la multiplicación.
Los cuaterniones constituyen el conjuntonumérico buscado por muchos años y por diversos matemáticos, que describiera puntos del espacio tridimensional en forma similar a como los números complejos describen puntos en el plano. Por lo que en el desarrollo de las matemáticas los cuaterniones tuvieron una gran importancia, siendo el primer ejemplo de un campo no conmutativo y la base del álgebra vectorial que se emplea actualmente, en la quelas unidades imaginarias i, j, k pasaron a ser los vectores i, j, k.
El estudio de la estructura de los cuaterniones es importante porque el formalismo vectorial que se usa actualmente, el cual fue desarrollado por J. W. Gibbs y O. Heaviside, tiene base en el algebra de los cuaterniones.
Los cuaterniones son una solución a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. En laactualidad son imprescindibles en robótica y en visión por computadoras. En cada uno de estos aspectos mencionados, se hace necesario el conocimiento a cerca de las propiedades algebraicas elementales de este conjunto numérico de las llamadas álgebras modernas. De ahí también la importancia que reviste el propósito de este estudio de las propiedades del conjunto de los cuaterniones; determinar qué tipode estructuras algebraicas satisfacen los cuaterniones de Hamilton.
1.5 Antecedentes.
El estudio de los cuaterniones ha sido abordado por diferentes matemáticos entre los que se pueden mencionar:
Hankins (1980), publicó un artículo en el que destaca los aportes de William Rowan Hamilton, matemático irlandés, quien definió los números complejos, como pares de números reales, en cuyo conjuntodefinió una ley de composición conmutativa. Hizo aportaciones sobre la teoría de los cuaterniones y de los hipernúmeros. Escribió obras sobre métodos generales de dinámica y Elementos de Cuaterniones.
Sánchez (2011), publicó en octubre un artículo sobre vectores y cuaterniones, en él trata sobre el álgebra de Hamilton y comenta la importancia de las nuevas álgebras que estaban por venir...