los exiliados

Premios del Departamento de Matemáticas
de la Universidad Autónoma de Madrid
para Estudiantes de Secundaria
Segunda Edición, 2007/2008

TRABAJO: Sobre triángulos de lados
enteros
GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO
AUTORES:
o Héctor Rosa Álvarez
o Adrián Tamayo Domínguez

TUTORES:
o David Miguel del Río
o Ángel Corral Cedeña
CENTRO: IES Europa (Móstoles, Madrid)

SOBRETRIÁNGULOS DE
LADOS ENTEROS

Autores:
“Matemáticos triangulares”

Sobre triángulos de lados enteros
ÍNDICE
1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES....................................................................... 2
2.- OBJETIVOS.................................................................................................................... 2
3.-DESARROLLO............................................................................................................... 2
3.1.- Nuestras fórmulas iniciales........................................................................................... 2
3.2.- Nuestras fórmulas generales......................................................................................... 5
3.2.1.- La primera fila subrayada a1n, b1n yc1n...................................................... 7
3.2.2.- La segunda fila subrayada a2n, b2n y c2n..................................................... 8
3.2.3.- Generalizando las expresiones para las series ain, bin y cin.......................... 9
3.3.- Cambiando de estrategia............................................................................................. 10
3.3.1.- Serie cero (a0n, b0n yc0n)........................................................................... 10
3.3.2.- Serie 1 (a1n, b1n y c1n)............................................................................... 10
3.3.3.- Serie 2 (a2n, b2n y c21n)............................................................................. 10
3.3.4.- Generalizando para la Serie i (ain, bin ycin)............................................... 11
4.- RESULTADOS.............................................................................................................. 12
5.- CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE NUESTRO PROBLEMA....... 12
5.1.- Relación de triángulos enteros con área igual al perímetro........................................ 12
5.2.- Comprobación de la expresión de lassoluciones........................................................ 14
5.3.- Comprobando que no hay otras soluciones................................................................. 14
6.- BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................... 18

“Sobre triángulos de lados enteros” – Grupo: Matemáticos triangulares

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Sobre triángulos de lados enterosResumen.- A partir de las fórmulas para encontrar todas las ternas pitagóricas desarrollaremos nuestras
propias expresiones para ello y las aplicaremos a la resolución del problema planteado. Este proceso nos
llevará a encontrar todas las soluciones posibles.

1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES
Se nos plantea el siguiente problema: ¿Hallar todos los triángulos existentes cuya
área seanuméricamente igual a su perímetro y sus lados sean enteros?
Según el enunciado tenemos que resolver la siguiente ecuación,
aceptando únicamente las soluciones enteras:

a·b
= a+b+c
[1]
2
Área = Perímetro
Como se trata de triángulos rectángulos, sus lados van a
ser ternas pitagóricas. Por ello tenemos que encontrar fórmulas
que generen todas las ternas.

2.- OBJETIVOS
El principal objetivodel presente trabajo es el de aprender a desarrollar estrategias
que permitan abordar problemas cuya solución no sea, en principio, fácil.
Para ello utilizaremos el método científico, la observación y la generalización de
aquellas regularidades que encontremos.
Trataremos de resolver la ecuación planteada, sobre la que hemos de imponer una
fuerte restricción: no vale cualquier solución....