Los limites

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Título: Límites de funciones y continuidad
Autor: c Juan José Isach Mayo Fecha:04 Septiembre del 2007

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Contents
1 Límites 1.1 Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Límites de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 a)Función convergente en x0 (Puede o no ser continua en xo ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.2.2 b) Función continua en x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 c) Función presenta en x0 una discontinuidad evitable . . . 1.2.4 d) Función presenta en x0 una discontinuidad de salto …nito 1.2.5 e) Función presenta en x0 una discontinuidad de salto in…nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 e) Inexistencia del límite . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.3 Algebra de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Técnicas de cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 a) Técnicas de cancelación . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 b) Técnicas de racionalización . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 b) Técnicas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Ejercicios de límites de una funciónen un punto . . . . . 1.5 Teoremas para calcular límites: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Función convergente a cero por función acotada en un punto 1.5.2 Criterio del emparedado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 In…nitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Límites en el in…nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Continuidad 2.1De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . 2.3 Operaciones con funciones continuas . 2.4 Discontinuidad de algunas funciones . 2.5 Propiedades de las funciones continuas 2.6 Propiedades de las funciones continuas 2.7 Problemas continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en un punto . en un cerrado . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 9 10 11 12 16 20 23 24 26 29 33 35 35 35 37 42 45 45 46 47 47 47 48 51

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CONTENTS

Chapter 1

Límites
1.1 Conceptos previos

De…nition 1 Entorno abierto de centro xo y radio r Er (xo ) = fx 2 R d(x; xo ) < rg = fx 2 R jx xo j < rg = fx 2 R r < x xo < rg = fx 2 R xor < x < xo + rg = ]xo De…nition 2 Entorno abierto reducido de centro xo y radio r Er (xo ) = fx 2 R 0 < d(x; xo ) < rg = fx 2 R 0 < jx xo j < rg = fx 2 R fxo g r < x xo < r g = fx 2 R fxo g xo r < x < xo + rg = ]xo r; xo + r[ fxo g

r; xo + r[

1.2

Límites de una función en un punto

Estudiar el límite de una función en un punto xo es lo mismo que estudiar el comportamiento de dichafunción en un entorno reducido de centro xo y radio ,r; tan pequeño como deseemos (Er (xo ) =.]xo r; xo + r[ fxo g) Las situaciones que se pueden presentar son las siguientes:

1.2.1

a)Función convergente en x0 (Puede o no ser continua en xo )

Si 9 lim f (x) = l (un numero real) diremos que la función es convergente en x!xo xo 2 3 0 < jx xo j < 5 ) y De…nition 3 lim f (x) = l , 8" > 0 9 > 0 /si4 x!xo x 2 D(f ) jf (x) lj < " , 8" > 0 9 > 0 /si 4 2 x 2 (xo ; xo + ) y x 2 D(f ) 5 fxo g 3 5 ) f (x) 2 (l "; l + ")

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CHAPTER 1. LÍMITES

Condición necesaria y su…ciente para que una función sea convergente en x0 0 1 9 lim f (x) + x!xo B C B C 9 lim f (x) lim f (x) = l , B C x!xo x!xo @ A lim f (x) = lim f (x) = l
x!x+ o x!xo

Nota 1: lim f (x) = l (un numero real)
x!x+ oDe…nition 4 lim f (x) = l , 8" > 0 9 > 0 /si 4
x!x+ o

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0 0 9 > 0 /si 4 x 2 D(f ) Nota 2 : lim f (x) = l (un numero real)
x!xo

2

"; l + ")

De…nition 5 lim f (x) = l , 8" > 0 9 > 0 /si 4
x!xo

2

0 < xo

x<

jf (x)

lj < "

y x 2 D(f )

3

5 )

3 x 2 (xo d; xo ) 5 ) f (x) 2 (l y , 8" > 0 9 > 0 /si 4 x 2 D(f )

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"; l + ")

Ejemplos de funciones convergentes en...
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