Los Numeros Reales
1.1 La recta numérica.
Es una forma grafica de una linea, en la que se muestra los numeros enteros, donde se encuentran los numeros positivos y los numeros negativos, este tipo de grafico nos muestra, como reconocer los numeros y asi tener una idea mas clara.
Los numero pueden apreciarse mejor y asi saber como es su recorrido en la recta numerica tanto como los positivosy los negatigos.
tambien en la recta numerica ponemos ver los valores fraccionarios, asi tambien el valor de cero que significa el punto medio de la recta.
En la recta numerica, vemos los numero naturales, los reales, racionales y los iracionales, asi como los numeros positivos.
son lo que se pueden apreciar en la recta numerica. |
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1.2 Representación geométrica de los números reales
Alos números reales se les suele representar (o ubicar) en un eje, es decir, en una recta en la cual hay
un punto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitud convencional y un sentido.
Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos
una sucesión de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1; 2; 3; : : :; (estos
puntosrepresentan a los números naturales).
0 1 2 3
Los simétricos de estos puntos con respecto al origen, es decir, los puntos que se obtienen al marcar
repetidamente la unidad de longitud en el sentido contrario al del eje, representan a los números
negativos.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Además hay puntos en el eje cuya distancia al origen es el racional
p
q
si p 2 N [f 0 g o p
q
si p 2 Z
(q 2 N ). Esdecir, si dividimos la unidad de longitud en q partes iguales y tomamos p de ellas en el
1canek.azc.uam.mx: 14/ 5/ 2008
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2 Cálculo Diferencial e Integral I
sentido del eje, si p es natural y en el sentido opuesto si es entero negativo, encontramos un punto
cuya distancia al origen es
p
q
o
p
q
dependiendo de si p es natural o entero negativo.
-3
1
3
1
2
_
1
2
_
5
3
_
-2_
_
_
_
-1
_
_
0
_
_
_
1
_
_
_
_
2
_
_
_
_
3
_
_
_
_
Además de los puntos cuya distancia al origen es un número racional, también se encuentran puntos
cuya distancia al origen es un irracional. Por ejemplo si representamos un triángulo rectángulo
isósceles cuyos catetos midan 1, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide p12 C 12 p D 1 C 1 D
p2; entoncespodemos marcar un punto cuya distancia al origen sea precisamente p2.
x
y
-2 -1 0 1 2
1
p2
p2
Los números reales comúnmente se representan con letras minúsculas.
De esta manera a cada número real positivo r le hacemos corresponder el punto P cuya distancia
al origen es dicho número r. Al real negativo r le hacemos corresponder el punto P que es el
simétrico de P con respecto al origen.
rP
r
P
0
A todo punto del eje le corresponde un número real asociado a la distancia del punto al origen y a
dos números reales diferentes les corresponden dos puntos distintos.
Por esta correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de un eje, es usual referirse
indistintamente a un número real o a un punto.
Es costumbre dibujar horizontal al eje y considerar positivo elsentido de izquierda a derecha. Por
eso se usan expresiones como “a la derecha" o “a la izquierda".
Ejercicios 1.2.1 Soluciones en la página 4
1. ¿Cuándo se dice que 2 puntos A y A0 son simétricos con respecto a un tercero O?
2. Dados dos puntos A y O ¿cómo hallaría el simétrico de A con respecto a O?
2
1.2 Representación geométrica de los números reales 3
3. Con regla y compás ¿cómo divideun segmento en 2 partes iguales?
4. Con regla y compás ¿cómo divide un segmento en 3 partes iguales?
5. ¿Cómo dividiría un segmento en q partes iguales (donde q es un número natural)?
6. ¿Cómo hallaría el punto en el eje real que le corresponde al número racional
5
3
?
7. ¿Cómo hallaría el punto en el eje real que le corresponde al número racional
p
q
donde p 2 Z y
donde q 2 N ?
8....
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