Los numeros

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Academia Resuelve
Pso. Dr. Vallejo Nágera, 4 28045 Madrid 91 473 24 11

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NUMEROS COMPLEJOS
DEFINICIÓN DE EL NUMERO IMAGINARIO i: Recordemos que cuando en cursos anteriores se trato el tema de las raíces, se demostró que las raíces de índice par no tenían solución. Los matemáticos salvaron este problema definiendo el numero imaginario i, del siguiente modo:

i = −1EJERCICIO RESUELTO: Calcula − 16 como numero imaginario. SOLUCION: − 16 = 16 ⋅ (−1) = 16 ⋅ − 1 = 4 ⋅ i Se llama numero complejo a un numero que tiene una parte real a, y una parte imaginaria b.

a + bi

REPRESENTACIÓN DE UN COMPLEJO EN LAS FORMAS BINOMICAS, POLAR Y TRIGONOMETRICA. FORMA BINOMICA: La forma binomica es: Para representarlo se hace en unos ejes parecidos a los ejes cartesianos.El eje horizontal es el eje de la parte real y el vertical se llama eje imaginario. Veamos como se representa el numero complejo, 2-3i:

a + bi

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eje imaginario

2 eje real

-3

Al vector que representa, al complejo se le llama afijo del complejo. FORMA POLAR: A esta formula se le llamatambien forma modulo-argumental de un complejo. Se llama forma polar de un complejo, a:


Donde: r = modulo del complejo, es lo que mide el afijo. α =argumento del complejo, es el ángulo que forma el afijo con el semieje real positivo, medido en sentido antihorario EJERCICIO RESUELTO: Representa gráficamente el complejo, 530º. SOLUCION:

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30º 5

Ahora vamos a tratar un tema fundamental, que es el paso de la forma polar a binomica y viceversa. PASO DE FORMA BINOMICA A POLAR: Para esto emplearemos las formulas:

a + bi → rα r = a2 + b2 b α = arctan a
EJERCICIO RESUELTO: Pasar el complejo –1+i, a forma polar. SOLUCION: Aplicamos las formulas anteriores: r = (−1) 2 + 12 = 2 1 =135º −1 Luego el complejo 2 135 º .

α = arctan

EJERCICIO PROPUESTO: Pasa los siguientes complejos a forma polar:

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a) 3 + 3i b) 5i c)-4 d) 3 − i SOLUCION: a) 2 3 30 º b) 5 90 º c) 4180 º
d) 2 330 º PASAR DE FORMA POLAR A BINOMICA:

rα → a + bi a = r ⋅ cosα b = r ⋅ sin α
FORMATRIGONOMETRICA:

r (cosα + sin α ⋅ i )
OPERACIONES:

SUMA Y RESTA:

(a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c) + (b ± d ) ⋅ i
EJECICIO RESUELTO: Resuelve 2 + 3i + (1 − 3i ) . SOLUCION: Se suman las partes reales y las imaginarias. 2 + 1 + (3 + −3) ⋅ i = 3 + 0 ⋅ i = 3 MULTIPLICACIÓN: EN FORMA BINOMICA:

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Lamultiplicación de complejos en forma binomica se efectúa de forma análoga a la multiplicación de polinomios, luego se suman los numeraos reales entre sí, y los imaginarios a su vez entre sí, conformando de esta forma la parte real e imaginaria respectivamente del complejo resultante. Veámoslo:

(a + bi) ⋅ (c + di) = a ⋅ c + a ⋅ di + c ⋅ bi + b ⋅ d ⋅ i 2 = (a ⋅ c − b ⋅ d ) + (a ⋅ d + c ⋅ b) ⋅ ii 2 = −1

EJERCICIO RESUELTO: Realiza la siguiente multiplicación de complejos en forma binomica (2 + i ) ⋅ (3 − 2i ) . SOLUCION: (2 + i ) ⋅ (3 − 2i ) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ (−2i ) + 3 ⋅ i − 2i ⋅ i = 6 − 4i + 3i + 2 = 8 − i
EN FORMA POLAR: El producto de dos complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo modulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos.rα ⋅ r 'α ' = (r ⋅ r ' ) (α +α ')

EJERCICIO RESUELTO: Realiza el siguiente producto 330 º ⋅ 510 º . SOLUCION: 330 º ⋅ 510 º = (3 ⋅ 5) (30+10) = 15 40 º

COCIENTE: CONJUGADO DE UN COMPLEJO.
CONJUGADO DE UN COMPLEJO: Se define conjugado de un complejo a + bi , al mismo complejo pero con el signo que hay entre la parte real y la imaginaria cambiado, a − bi . Es fundamental para realizar una...
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