Los Parametros Del Capm.

Estimacion Consistente del Capital Asset Pricing
Model
Javier Eduardo Perez Bastida y Andres Ponce de Leon Rosas
Microeconometria Avanzada, 2008

Se presenta un ejercicio de estimacion para los parametros del CAPM. Seguimos
dos metodolog as, a traves del Metodo Generalizado de Momentos (GMM) y
a traves del metodo que se propone en Dominguez y Lobato (2004).

1.

IntroduccionSiguiendo a Dom nguez y Lobato (2004) existen modelos de nidos por
momentos condicionales, esto es, en donde se impone que la media condicional de ciertas funciones parametricas sea cero al evaluarse en el verdadero
valor del parametro. Generalmente estos modelos son estimados aplicando el
Metodo Generalizado de Momentos (GMM), sin embargo, demuestran que
generalmente este proceso de estimacionarroja estimadores inconsistentes,
ya que el numero de instrumentos elegidos es nito, cuando el procedimiento
exige un numero in nito de restricciones. Para solucionar ese problema, los
autores introducen un metodo de estimacion que no requiere el uso de instrumentos, con lo cual se evita el problema mencionado anteriormente.
En este documento realizamos la estimacion del Capital Asset PricingModel (CAPM) a traves de las dos metodolog as y comparamos sus principales propiedades estad sticas.
El CAPM plantea la existencia de un consumidor representativo que
resuelve el siguiente problema:
max E0 f
s:a:

1
X
t=0

t

(

1
ct
1

ct + kt+1

)g
f (kt )

La condicion de primer orden del problema es:

Microeconometria Avanzada

ct

= Et fct+1 (

1
Pt+1

)g

11 + f 0 (kt+1 ).
Pt+1
ct+1
Sea X
, entonces:
ct
donde

Et f Xt+1

Pt+1 g = 0

(1)

Dicha ecuacion determina la condicion que nos permite identi car a los
parametros y .

2.

Metodolog a

El procedimiento de estimacion fue el siguiente:
1. Determinacion de los parametros ( , , N, B):
Se realizaron estimaciones para dos diferentes pares de valores de y
. Para cada par devalores se realizaron dos ejercicios, con N=500 y con
N=1000, para cada uno de los cuales se crearon B=1000 muestras.
2. Muestreo :
Para crear las muestras, se simulo una Cadena de Markov con cuatro
estados para Xt y Matriz de Transicion T . Dada la ecuacion (1) y los
estados de Xt y T generamos una Cadena de Markov para Pt . Un analisis
mas detallado de la metodolog a se encuentra en elapendice del documento.
3. Estimacion GMM :
El problema que enfrentamos es encontrar , que satisfagan la relacion
dada por (1).
En la introduccion de este documento mencionamos que para identi car
y se utilizan un numero nito de intsrumentos. En la estimacion elegimos
los instrumentos que garantizan varianza m nima. Si de nimos:
h( ; ; X t )
t (Xt )

Rt (Xt )

Et

1

Et

1

XtPt

h( ; ; Xt )2 jXt

@ h( ; ; Xt )
Xt =
@( ; )

Xt

Los instrumentos optimos estan dados por:
'( ; ; Xt )

1
t

(Xt ) Rt (Xt )

ln Xt

1
Xt

!

Estimacion del CAPM

De donde deducimos que el modelo esta identi cado por:
E [h( ; ; Xt ) '( ; ; Xt )] = 0
Aplicando el Principio de Analog a tenemos que, si de nimos:
un ( ; ) = En [h( ; ; Xt ) '( ; ; Xt )]
el problema queenfrentamos es encontrar
mizen:

GM M

y

GM M

que mini-

QGM M ( ; ) = [un ( ; )]0 un ( ; )
Se creo una rutina en Matlab que, para cada una de las B muestras de
tama~o N, primero calculara numericamente los instrumentos optimos, sen
gundo se calculara la funcion objetivo para nalmente estimar numericamente
GM M y GM M .
Los resultados de dicha estimacion se reportan en laseccion de resultados.

4. Estimacion Consistente :
Siguiendo a Dom nguez y Lobato (2004) para cada una de las B muestras
de tama~o N se calculo numericamente la siguiente funcion objetivo:
n

Microeconometria Avanzada

N
N
1 XX
QC ( ; ) = 3
( ( Xt
n

Pt )I(Xt

2
Xl ) )

l=1 t=1

La cual, a traves de una rutina de Matlab, fue minimizada para obtener
los parametros C y C .
Los...