Los relampagos de agosto

A L G E B R A L I N E A L, ALGEBRA MULTILINEAL Y K-TEORIA ALGEBRAICA CLASICA

EMILIO LLUIS-PUEBLA
Universidad Nacional Aut´noma de M´xico o e

2008 Segunda Edici´n: Sociedad Matem´tica Mexicana, o a Publicaciones Electrnicas ISBN 968-9161-31-8 (versi´n en l´ o ınea) ISBN 968-9161-32-6 (versi´n en CD) o ISBN 968-9161-33-4 (versi´n en papel) o 1997 Primera Edici´n: Sistemas T´cnicos deEdici´n, S.A. de C.V. o e o San Marcos, 102. Tlalpan 14000 M´xico, D.F. e c 1996 Emilio Lluis-Puebla Obra compuesta y formada en TEX por Flor de Mar´ Aceff S´nchez ıa a Hecho en M´xico. e ISBN 970-629-149-0 Sistemas T´cnicos de Edici´n e o ABCDEFGHIJKL-M 9987

INDICE GENERAL

Prefacio

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Introducci´n o

1

Cap´ ıtulo I Conceptos Fundamentales
I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 Espacios vectoriales yfunciones lineales Subespacios vectoriales Espacios vectoriales de dimensi´n finita o Aplicaciones La matriz asociada a una funci´n lineal o 21 27 35 42 47

Cap´ ıtulo II Vectores Caracter´ ısticos y Formas Can´nicas o
II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 Valores y vectores caracter´ ısticos Teorema de Cayley-Hamilton El polinomio m´ ınimo Forma can´nica triangular o Forma can´nica de Jordan o 55 62 67 70 77iv Cap´ ıtulo III Formas y Operadores
III.1 Formas bilineales III.2 Formas bilineales, sim´tricas, alternantes, cuadr´ticas e a y hermitianas III.3 Producto escalar III.4 Operadores adjuntos III.5 El teorema espectral

Indice general

87 97 103 109 114

Cap´ ıtulo IV Algebra Multilineal y K-Teor´ Algebraica Cl´sica ıa a
IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 Producto tensorial Producto exterior Estructurasalgebraicas K0 y K1 121 128 135 141

Ap´ndice e Notas Hist´ricas o Bibliograf´ ıa Lista de S´ ımbolos Indice Anal´ ıtico

151 173 175 177

PREFACIO

La mayor´ de los textos de Algebra Lineal que se encuentran en nuestro pa´ en ıa ıs, espa˜ol, son traducciones de textos en ingl´s dirigidos a estudiantes de diversas n e disciplinas (Psicolog´ M´sica, Medicina, etc., para los cuales esobligatorio curıa, u sar Algebra Lineal). Por lo tanto, dichos textos no poseen el enfoque que deben tener para estudiantes de las carreras de Matem´ticas o F´ a ısica, por mencionar algunas. Los textos en otros idiomas dirigidos exclusivamente a estudiantes de F´ ısica o Matem´tica son escasos y en espa˜ol lo son a´n m´s. Es as´ que nuestra intenci´n a n u a ı o es la de proveer a los estudiantes decarreras cient´ ıficas de un enfoque serio, fundamentado y moderno del Algebra Lineal. Hemos incluido el Algebra Multilineal, tema excluido de los programas usuales pero que nosotros pensamos que es de importancia fundamental, as´ como la notaci´n que se utiliza en f´ ı o ısica para tensores. No se ha descuidado el aspecto computacional, al contrario, se incluyen diversos ejercicios de c´lculo expl´a ıcito. Sin embargo, han sido incluidos una gran cantidad de problemas interesantes que preparan al estudiante para realmente darle la oportunidad de crear matem´ticas. Todos ellos se resuelven utilizando el material a expuesto. Como consecuencia del trabajo de resolverlos, le brindan al estudiante la oportunidad de redactar matem´ticas. a Suponemos que el lector est´ familiarizado con algunosde los temas b´sicos del a a Algebra Superior, es decir, que ya conoce y maneja estructuras algebraicas como I Q , I C , C [x], la definici´n de campo, y ha trabajado num´ricamente con N, I R, I I o e matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Es conveniente que haya conocido los espacios vectoriales I n sobre el campo I R R. Este libro est´ dise˜ado para un curso de un a˜o (dossemestres, estudiando los a n n cap´ ıtulos I y II en el primero y los cap´ ıtulos III y IV en el segundo; o bien, haciendo

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Prefacio

modificaciones adecuadas, como por ejemplo, el cap´ ıtulo I, II.1, II.2, II.3 y III.3 en el primer semestre y el resto en el segundo). En la Introducci´n se presenta un panorama del presente texto. Obviamente no o se pretende que el lector que no conozca...