Lugar de las raíces con bode

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CASO DE ESTUDIO

1. Construya el Diagrama de Bode para la siguiente función de transferencia en lazo abierto



Determine:
1. La Ganancia ultima para un controlador proporcional
2.La Frecuencia ultima de la respuesta del lazo cerrado de control
3. El periodo ultimo de la respuesta estable del lazo cerrado de control
4. La respuesta ultima del lazo cerrado de control(Grafica)
5. El margen de fase y el margen de ganancia cuando se le asigne al controlador proporcional una ganancia de 20
6. La frecuencia de cruce de magnitud y la frecuencia de cruce de faseSOLUCION

Para realizar el estudio de la función de transferencia dada (OLTF) realizamos modificaciones para expresarla de la forma:

Inicialmente resolvemos las raíces para el denominadorcuadrático, utilizando la ecuación general cuadrática:

s2+2s+10=0

s=-b±b2-4ac2a=-2±22-4*102=-1±-362=-1±36i2=-1±3i

Reemplazando en la OLTF

OLTF=Kc(s+1)s s+5 s+1+3i [s+(1-3i)]

Multiplicando ydividiendo el denominador para obtener la forma deseada

OLTF=Kc(s+1)s55 s+51+3i1+3i s+1+3i1-3i1-3i [s+(1-3i)]

OLTF=151+3i(1-3i)*Kc(s+1)s [15s+1] 11+3is+111-3is+1

OLTF=15(1-3i2)*Kc(s+1)s [15s+1]11+3is+111-3is+1

OLTF=150*Kc(s+1)s [15s+1] 11+3is+111-3is+1

Si τ1=1 τ2= 15 τ3= 11+3i τ4= 11-3i

OLTF=(150)Kc(τ1s+1)s[ τ2s+1] τ3s+1 τ4s+1

De acuerdo a las ecuaciones generales la relación de magnitudes y el ángulo fase del sistema en lazo abierto están dados por:

MR=AR(150)Kc=τ12w2+1wτ22w2+1 τ32w2+1τ42w2+1

Ɵ=tan-1τ1w-tan-1τ2w-tan-1τ3w-tan-1τ4w-π/2

La solución de la ecuación de fase para un valor de ángulo de -180º permite la determinación de la frecuencia última de la respuesta oscilatoria dellazo cerrado de control y el valor de la ganancia última se estima con la ecuación de relación de magnitudes asignándole a la relación de amplitudes el valor de 1. Los resultados se obtienen con el...
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