Lugares geométricos

Unidad: Lugar Geométrico
Secciones Cónicas Karen Miranda – Isabel Quezada

Lugar Geométrico
En geometría, acostumbramos a llamar lugar geométrico a la ubicación en el espacio de un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Esta condición debe ser tan clara, que nos permita determinar para cada punto del espacio si éste la satisface o no y según eso determinamos si el punto encuestión pertenece o no al lugar geométrico. En general, para demostrar la existencia de un lugar geométrico debemos probar dos proposiciones: a) Que todos los puntos del lugar geométrico cumplan la condición que lo define. b) Que cualquier punto que no está en el lugar geométrico no cumpla la condición. Las iniciales L.G. simbolizan las palabras Lugar Geométrico. Este trabajo está enfocado a lassecciones cónicas que pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:
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Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

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Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semiejemayor de la elipse).

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La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.A continuación se describe cada una de las secciones cónicas (o simplemente, cónicas).

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SECCIONES CÓNICAS
El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica. El punto fijo se llama foco de la cónica, larecta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e. Las secciones cónicas se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola.

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CIRCUNFERENCIA
Unacircunferencia es un lugar geométrico en el plano en que los puntos equidistan uno de otros, cada punto que hace de la circunferencia equidistan del punto llamado centro. La distancia entre ese centro y cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

C(h,k)

Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. No toda ecuación de este tipo representasiempre una circunferencia: solo en determinadas condiciones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio. Su ecuación proviene de la distancia entre el punto P y C:

d (CP)  r

 ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r
( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Es la ecuación de la circunferencia de centro (h,k) yradio r. Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma x 2  y 2  r 2 . Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
Si escribimos esta ecuación en la forma:

x 2  Dx  y 2  Ey  F  0

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Unidad: Lugar Geométrico
Secciones Cónicas Karen Miranda – Isabel Quezada Y sumamos y restamos los términos que seindican para completar cuadrados, se tiene:

x 2  Dx 

D2 E 2 D2 E 2  y 2  Ey    F 4 4 4 4
D  E D 2  E 2  4F  . x   y    2  2 4 
2 2

O bien

El centro es el punto  
  

1  D E D 2  E 2  4F . ,  y el radio r  2 2 2 

Si D 2  E 2  4F  0 , la circunferencia es real. Si D 2  E 2  4F  0 , la circunferencia es imaginaria. Si D 2  E 2  4F  0 ,...