Límites y continuidad

Unidad 3.- Límites y continuidad

3.1 Limite Definición
La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
Función,por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función  se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene unlímite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa,por lo que una definición formal requiere de más elementos.


3.2 Propiedades de los límites
Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz

Límite de un logaritmo


3.3 Límites laterales

El límte lateral porla derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a.
El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a.

3.4 Asíntota (verticales, horizontales, oblicua)

Las asíntotas son rectas alas cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero,esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Asíntotas verticales.-
Cuando una función no está definida en un punto b, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, estamos ante una situación en la que aparece una asíntota vertical, que es la recta x=b. Se diceque en dicho punto, la función "tiende a infinito".

Asíntotas horizontales.-
Si estudiamos lo que ocurre con las imágenes cuando los valores de la variable independiente se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que éstas se vayan acercando a un valor determinado, y=c, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=ces una asíntota horizontal, dado que la funcióntiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito"
Asíntotas oblicuas.-
Una función también puede tener una asíntota oblicua, que será una recta del tipo y=mx+n. En este caso, la función se va acercando cada vez más a la recta asíntota en el infinito.
3.5 Límites especiales

Los limites especiales son: 

lim x-->0 senx/x=1 

La razón es que cuando el ángulo x es muy pequeño el seno tiende aser igual a ese ángulo seria como la división de 2 números muy pequeños pero a medida que mas pequeños sean, tienden a ser iguales 

lim x-->0 (1-cosx)/x =0 

A medida que el ángulo es muy pequeño el coseno tiende a ser igual a 1 
seria la división de 0 sobre un número muy pequeño.


3.6 Definición de continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a)....