Método de doble integración para deflexión en vigas

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
(ECUACIONES DE MOMENTOS POR RANGOS)

1.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
En el capítulo 1 se presenta el desarrollo que permite obtener la Ecuación Diferencial de
la Elástica (Ecuación 1.17), la cual es una ecuación diferencial de segundo orden.
Revisando el lado derecho de la Ecuación 1.17 se observa que, conforme a las hipótesis
simplificadoras adoptadas para eldesarrollo de la fórmula, el valor del producto EI es
constante, ya que se está trabajando para elementos prismáticos (I constante) y para vigas
de un sólo material (E constante). En cambio, el momento flexionante M, en lo general
presenta variación, la cual depende de x.
Esto nos permite reescribir la ecuación diferencial de la elástica de la siguiente forma:

EI

d 2v
 M  x
dx 2(2.1)

La cual muestra que se debe resolver una ecuación diferencial de variables separables,
siendo el método de integración directa la opción más viable.
Al realizar una primera integración se obtiene:

EI

dv
 M  x  dx  C1
dx 

(2.2)

Siendo C1 la constante de integración y recordando que la primer derivada de v con
respecto a x corresponde al giro (de acuerdo a la hipótesis dedeformaciones pequeñas).
Integrando la ecuación 2.2

EIv     M  x  dx  C1  dx    M  x  C1 x  C2



(2.3)

Donde C2 es la constante de integración y el valor de v corresponde a la deflexión.
Por otra parte, si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de
momentos tendrá que reflejar dicha variación. Por lo general se establecen rangos deaplicabilidad de las diversas ecuaciones de momentos necesarias para describir a la viga
en su totalidad. Los rangos se definen como el espacio comprendido entre dos puntos de

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discontinuidad de cargas, los cuales pueden ser: cargas concentradas y/o inicio o fin de
cargas distribuidas.
Cada uno de estos rangos tiene su propia ecuación de momentos, mismas que al ser
integradas, generaránecuación de giros y ecuación de deflexiones para cada rango, con
sus correspondientes constantes de integración. La obtención de los valores de las
constantes de integración se realiza en base a condiciones de frontera y a condiciones de
continuidad las cuales se describen en las secciones 2.2 y 2.3 respectivamente.

1.2 CONDICIONES DE FRONTERA
Para el caso en estudio, las condiciones defrontera son básicamente las condiciones
impuestas por el o los apoyos de la viga. Es decir, se trata de aplicar las ecuaciones
resultantes del proceso de integración en los lugares donde se conoce de antemano que el
tipo correspondiente de deformación es nulo, con el propósito de generar expresiones
matemáticas que permitan obtener los valores de las constantes de integración.
La Tabla 2.1 presentaen forma esquemática las condiciones de frontera para vigas
simplemente apoyadas, y la Tabla 2.2 las correspondientes a vigas con empotramiento y
voladizo.
Condición de
Frontera 1

a

xL
v0

xa
v0

L

Condición de
Frontera 2

x0
v0

Viga

xL
v0

L

Tabla 2.1 Condiciones de Frontera en vigas simplemente apoyadas.

2

Condición de
Frontera 1

L

xLv0

x0
dv
0
dx

L

Condición de
Frontera 2

xL
dv
0
dx

Viga

x0
v0

Tabla 2.2 Condiciones de Frontera en vigas con empotramiento y voladizo.

1.3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD
Como ya se mencionó en la Sección 2.1 es frecuente que la descripción de la variación del
momento flexionante a lo largo de la viga requiera de establecer varios rangos, y por ende,
una ecuaciónde momentos para cada rango.
Las condiciones de continuidad se establecen específicamente en los puntos que limitan
los rangos. En estos puntos se presentan discontinuidades en cargas o momentos pero en
lo que respecta a giros y deflexiones no existe posibilidad de discontinuidad alguna,
siendo ésta la base de las condiciones de continuidad.
En otras palabras, la curva elástica de una...