Método De Las Series De Taylor Para Resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales Y No Lineales

MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR

MÉTODO DE LAS SERIES DE TAYLOR PARA RESOLVER ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES
Profesor: José Albeiro Sánchez Cano
Departamento de Ciencias Básicas
Universidad EAFIT

Objetivo: Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales,
que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series
de potencias (o decoeficientes indeterminados) . Esto es, si la solución en
series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá
entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará
dicha so-lución en forma cerrada.
Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse
el método de desarrollo de Taylor, pue s viene a ser mucho más cómodo para
unestudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución
mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria
siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos métodos son en
esencia los mismos.
Veamos en que consiste cada método.
El método de las series de Taylor para obtener soluciones numéricas de las
ecuaciones diferenciales, consiste encalcular las derivadas sucesivas de la
ecuación diferencial dada, evaluando las derivadas en el punto inicial x 0 y
reemplazando el resultado en la serie de Taylor. La principal dificultad de este
método es el cálculo recurrente de las derivadas de orden superior.
El método delas series de potencias o coeficientes indeterminados
consiste en suponer una solución en la forma y x  



 a x x 

n

n

0

S.P  . Esta

n 0

ecuación se deriva tantas veces como sea necesario para obtener expresiones
en serie de todas las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial y se
reemplazan en la ecuación diferencial dada para obtener los coeficientes a n .
La dificultad de este método es la manipulación de las series que se puedan
necesitar y la obtención de loscoeficientes de las series.
JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO- UNIVERSIDAD EAFIT- 2010

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Pero los métodos son esencialmente los mismos. En efecto, los coeficientes
que aparecen en la serie de potencias, a n y los coeficientes en el método de
Taylor ,

y n   x0 
n!

vienen relacionados por la formula a n 




por el método de Taylor viene dada por y (x) 

n 0

En el libro de ecuaciones diferenciales [1]
resolver el siguiente problema de valor inicial:

1

y n  x0 
. La solución
n!

y n  x 0 
 x  x 0 n
n!

S.T .

utilizan ambos métodos para

Ejemplo 1. Resolver el problema de valor inicial
2
dy
 e x ,
dx

1.1

y(0)  1

Solución.
Observar que la solución de ( 1.1) se puede escribir como yx  1 



x

e t dt.
2

0

Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo
tanto no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente
tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.
Apliquemos inicialmente el método de Taylor. Para esto debemos calcular
las derivadas sucesivas y evaluándolas en x  0 para obtener:

yx   2 xe  x ;

y 0  0

2



x    8 x  12 x e ;
x   16 x  48 x  12e

y x   4 x 2  2 e  x ;

y 0  2

2

y iv
yv

x

3

4

2

y iv 0  0

2

 x2

;

y v 0  12

Notando que y(0)  y 0  0  1 y y (0)  0 y reemplazando en la ecuación (S.T)
se obtiene la solución

y ( x)  1  x 

1

x3 x5


3 10

1.21

[1] Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Un enfoque al cálculo numérico.Charles E.
Robertrs Jr.,

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Ahora supongamos que la ecuación (1 .1)
potencias

yx  

tiene una solución en serie de



a x .

1.3

n

n

n 0

haciendo es x  0 en la ecuación (1.3) e...