Método novedoso ecuaciones diferenciales

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Instituto Tecnológico de Costa rica
Profesor: Johan Ávila Chavarría
Ecuaciones Diferenciales
Miércoles 13 de noviembre de 2010

Tema: (Tiempo probable 80 minutos)
* Ecuaciones diferenciales lineales de segundo y tercer orden con coeficientes constantes.
Actividad de inicio: (Tiempo probable 10 minutos)
Se da la bienvenida al grupo. Se les indica que el tema que seva desarrollar es sobre: un método novedoso para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo y tercer orden con coeficientes constantes.
Se leen los objetivos a desarrollar durante la lección.
Antes de empezar se les explica cómo estará distribuido el tiempo para cada tema a desarrollar.
Desarrollo de la lección: (Tiempo probable 65 minutos)
Definición:(Tiempo aprox. 1 minuto)
Se define una ecuación diferencial de segunda orden con coeficientes constantes no homogénea escribiendo lo siguiente en la pizarra:
y''+a1y'+a0y=b(x)
Con a0, a1 ∈ R y b(x) una función continua en un intervalo I.
Solución: (Tiempo aprox. )
Se les dice que vamos a obtener la solución de la ecuación y''+a1y'+a0y=b(x) utilizando el método novedoso, que sugiereempezar por la ecuación diferencial homogénea. El profesor escribe lo siguiente en la pizarra:
y''+a1y'+a0y=0
Para resolver esta ecuación se sugiere descomponer a1 como a1=α+β y queda lo siguiente:
y''+(α+β)y'+a0y=0
(y''+αy')+(βy'+a0y)=0
En este primer paréntesis el factor integrante u=eαdx=eαx
Multiplicando la igualdad anterior por el factor integrante se tiene:
eαxy''+eαxαy'+eαx(βy'+a0y)=0(eαxy')'+eαxβy'+eαxa0y=0
Se les dice que se quiere que el segundo sumando y el tercer sumando sean el resultado de la derivada de un producto.
Se le hace la siguiente pregunta al grupo: ¿Qué relación o cambio habría que hacer para qué eαxβy'+eαxa0y sea la derivada de un producto?
Luego de que los estudiantes deduzcan que la única forma de expresar eαxβy'+eαxa0y como la derivada deproducto es: (eαxβ)'=eαxa0
Se desarrolla un poco más la expresión anterior tenemos:
(eαxβ)'=eαxa0
⇒ αβeαx=eαxa0
⇒ αβ=a0

De esta forma se obtiene el siguiente sistema en términos de α y β:
α+β=a1
αβ=a0

Al resolver el sistema las soluciones son:
β=a1±a12-4a02
α=a1±a12-4a02
Resolver esto es similar que resolver λ2-a1λ+a0=0, pues ambas son ecuaciones características asociadas a laecuación y''+a1y'+a0y=b(x)
Por lo que la solución de λ2-a1λ+a0=0 es α, β o -α,- β
Por lo que la ecuación y''+(α+β)y'+a0y=0 se transforma en:
(eαxy')'+(βeαxy)'=0
Se le pregunta al grupo: ¿De qué otra forma se puede expresar (eαxy')'+(βeαxy)'=0 ?
Luego de que los estudiantes deduzcan que se puede expresar como una sola derivada (eαxy'+βeαxy)'=0
Luego integrando a ambos lados de la igualdadse obtiene:
eαxy'+βeαxy=c
y'+βy=ce-αx
Por lo tanto
yx=c1e-βx+ce-βxe(β-α)xdx
Luego se escribe lo siguiente:
Si λ1 y λ2 son soluciones de la ecuación característica, entonces la solución general de la ecuación homogénea es:
y= c1eλ1x+ceλ1xe(λ2-λ1)xdx
Luego se le comenta al grupo que se analizará los siguientes casos:
1. Si λ1 y λ2 son números reales
a) λ1≠λ2b) λ1=λ2
2. Si λ1 y λ2 son números complejos.
Empezaré por el primer caso: λ1 y λ2 son números reales
Si λ1≠λ2:
y= c1eλ1x+ceλ2x
Se le pregunta al grupo quien puede decir porque esa es la solución.
Luego de que alguno de los integrantes del grupo responda y se aclaren las dudas se procede a continuar con el siguiente caso.
Si λ1=λ2
y= c1eλ1x+cxeλ1x
Se comenta que esasolución se obtiene resolviendo yx=c1e-βx+ce-βxe(β-α)xdx de forma similar al caso anterior.
Luego se analiza el segundo caso: λ1 y λ2 son números complejos
Por lo que λ1=α+βi y λ2=α-βi
Tenemos la ecuación
y= c1eλ1x+ceλ1xe(λ2-λ1)xdx
y= c1eλ1x+ceλ1xe(λ2-λ1)xλ2-λ1+c2
y=c1eλ1x+c3eλ1x+(λ2-λ1)x+c4eλ1x
y=c1eλ1x+c3eλ2x+c4eλ1x
Como λ1=α+βi y λ2=α-βi
y=c1e(α+βi )x+c3e(α-βi...
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