Maestra

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Teorema de Rolle
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c Є (a, b) en el que f'(c) = 0.

En palabras más sencillas, si una curva regularsale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valorinicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercerejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que: Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c Є (a, b)tal que:

Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB. La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente esparalela a la secante . El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

Teorema de Weierstrass
Si una función f(x) está definida y es continua en unintervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es decir, que hay al menos dos puntos x 1 , x 2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanzavalores extremos absolutos:

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo , sólo afirma que existen.

es continua en el intervalo [−1, 4]

Propiedad deDarboux
Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.

Si observamos el dibujo podemosdefinir la propiedad de Darboux de este otro modo: Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b)

Teorema...
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