Mamematicas basicas

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MATEMATICAS BASICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
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ANGULOS Y TRIANGULOS
´
CONCEPTOS BASICOS

Medida de ´ngulos
a

Punto, l´
ınea recta y plano: son conceptos que no definimos pero utilizamos su representaci´n gr´fica y los denoo
a
tamos usando letras may´sculas as´
u
ı:

Los ´ngulos se miden en grados o en radianes. Este ultimo
a
´
t´rmino lodefiniremos en el cap´
e
ıtulo de trigonometr´
ıa.
Si el lado OB de un ´ngulo se obtiene al rotar el lado OA,
a
1
de una vuelta completa decimos que AOB mide un
360
grado, y lo denotamos 1◦ .
Para medir ´ngulos usamos el transportador.
a
Un ´ngulo se puede clasificar seg´n su medida as´
a
u
ı:

• Por dos puntos distintos pasa una y s´lo una l´
o
ınea recta.

´
• Angulo agudo: es elque mide menos de 90◦ .

• Se dice que tres puntos distintos son colineales si est´n
a
sobre una misma l´
ınea recta.

´
• Angulo recto: es el que mide exactamente 90◦ .
´
• Angulo obtuso: es el que mide m´s de 90◦ y menos
a
de 180◦ .

´
OTROS CONCEPTOS BASICOS

´
• Angulo llano: es el que mide 180◦ .

Si L es una l´
ınea recta y A, B son dos puntos sobre ella,
podemos hablartambi´n de la recta AB .
e

Llamamos segmento AB y rayo AB (o rayo R) a los siguientes conjuntos:

Relaciones entre ´ngulos:
a
´
• Angulos congruentes: decimos que dos ´ngulos son
a
congruentes si tienen la misma medida. Si α y β son
congruentes, escribimos α ∼ β
=

Los segmentos se miden en unidades de longitud.
Decimos que dos segmentos AB y CD son congruentes si
tienen la mismalongitud y lo denotamos AB ∼ CD.
=

´
• Angulos complementarios:
decimos que dos
a
´ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90◦ .

´
Angulo: es la uni´n de dos rayos que tienen un extremo
o
com´n. Cada uno de los rayos se llama lado del ´ngulo y
u
a
al punto com´n se le conoce como v´rtice.
u
e

´
• Angulos suplementarios: decimos que dos ´ngulos
a
sonsuplementarios si la su suma de sus medidas es
180◦ .
´
• Angulos adyacentes: decimos que dos ´ngulos son
a
adyacentes si tienen un lado com´n.
u
Ejemplo: en la siguiente figura,
adyacentes y suplementarios.

Lo denotamos por AOB ´ por B OA, por una letra griega
o
α, β, γ, ..., por un n´mero 1, 2, 3, ... ´ por una letra min´scula
u
o
u
a, b, c, ...
1

AOC y

B OC son

Se dice quedos rectas L1 y L2 en el plano, que tienen un
unico punto en com´ n, se intersecan en dicho punto. En
´
u
caso contrario, se dice que L1 y L2 son paralelas, y escribimos L1
L2 . En particular, si L1 y L2 tienen todos los
puntos comunes son coincidentes.
Si dos rectas L1 y L2 se intersecan formando un ´ngulo
a
recto se dice que son perpendiculares, y en dicho caso
escribimos L1 ⊥ L2 .Soluci´n:
o
a = 150◦ (porque a es suplemento de b = 30◦ ).
c = 30◦ (porque c es opuesto por el v´rtice con b = 30◦ ).
e
d = 150◦ (porque d es el suplemento de b = 30◦ ).
e = 150◦ (porque e es correspondiente con a = 150◦ ).
f = 30◦ (porque f es correspondiente con b = 30◦ ).
g = 30◦ (porque g es alterno externo con b = 30◦ ).
h = 150◦ (porque h es alterno externo con a = 150◦ ).Ejercicio:
Si L1 y L2 son rectas paralelas y c = 45◦ y m = 60◦ , encuentre la medida de los ´ngulos restantes.
a

´
Angulos entre rectas:
Cuando dos rectas son intersecadas por una l´
ınea transversal,
que llamaremos secante, se forman 8 ´ngulos as´
a
ı:

Soluci´n:
o
a = 60◦ (porque a es alterno externo con m = 60◦ ).
b = 75◦ (porque a + b + c = 180◦ , a = 60◦ y c = 45◦ ).
d = 60◦ (porque des opuesto por el v´rtice con a = 60◦ ).
e
e = 75◦ (porque e es opuesto por el v´rtice con b = 75◦ ).
e
f = 45◦ (porque f es opuesto por el v´rtice con c = 45◦ ).
e
g = 135◦ (porque g es alterno interno con d + e = 135◦ ).
h = 45◦ (porque h es suplemento de g = 135◦ ).
i = 135◦ (porque i es opuesto por el v´rtice con g = 135◦ ).
e
j = 45◦ (porque j es opuesto por el v´rtice con h =...