A. MANEJO DE LA DERIVADA

DEFINICIÓN:
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendientede la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos  y  es


INTERPRETACIÓN FÍSICA Y GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA:

Interpretación Geométrica De La Derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.)es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.
Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig.

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.
La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.
Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qm., ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la rectatangente a la curva en P.
Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: ,  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por  viene dada por:


En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente  viene dada por:

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es:
(Punto – Pendiente)
En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de [continua]

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