Manual de calculo integral

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO


Jorge Manuel Chacón Rodríguez


Cálculo Integral

5º “H”


Manual de TERCERA Unidad


Rodolfo Lara López

22 DE NOVIEMBRE DEL 2010
TEMAS DEL MANUAL
* Métodos de integración por partes o integración por partes.
* Procedimiento de integración por partes.
* Integral definida.
* Antecedenteshistóricos.
* Sumas de Riemann.
* Propiedades de las suma de Riemann.
* Formulas de la suma de Riemann.
* Sumas de Riemann con notación sigma.
* Áreas (interpretación intuitiva).
* Integración definida como el limite de una suma (Interpretación entuitiva).
* Suma de Riemann continuación.
* La integración definida como el limite de sumas de Riemann.
*Procedimiento para calcular una integral definida.
* Integrales definidas por cambio de variable.
* Aplicaciones de la integral definida.
* Aplicaciones de la integración por partes.
* Aplicaciones de la suma de Riemann.
* Aplicaciones de integración por fracciones parciales.
* Notación y teorema fundamental del cálculo.

1.-Métodos de integración e integración por partes.
Seentiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal quef(x) es su derivada:[1]
.
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.
Ejemplo
Calcular laintegral .
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
Ejemplo
Calcular la integral .
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .
No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, asi que, la integral escrita de una forma rigurosasería ln(|x|)
Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente suprimitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Procedimiento práctico
Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):
(1)
Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Tenemos que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemosconsiderar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración.Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo  :
(límite inferior)
(límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

De interés
Supongamos ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y la sustitución...