manual de ecuaciones diferenciales


ÍNDICE

UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. INTRODUCCIÓN

Definición. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.

En general, una ecuación Diferencial es de laforma:



Las Ecuaciones Diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comportamiento de los procesos con cambios dinámicos o variables en el espacio, en tiempo o en ambos. Se utilizan tales herramientas para responder preguntas que de otra manera son muy difíciles de contestar.

Por ejemplo, el comportamiento de una población de seres vivos a lo largo del tiempo, con base en sustasas de nacimiento y muerte en cierta región. Otro ejemplo de gran utilidad de las ecuaciones diferenciales, es en la Ingeniería Electrónica, con el análisis Circuitos Eléctricos, mediante el comportamiento de la carga y la corriente a través del tiempo, en el proceso de carga o descarga en un circuito eléctrico, con componentes de resistencia, inductancia y capacitancia en diferentes arreglos.1.2. CLASIFICACION SEGUN SU TIPO, SU ORDEN Y SU LINEALIDAD.

El Tipo de una ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: total o parcial

El Orden de una ecuación diferencial lo determina el grado de la derivada mas alta que contenga la misma: desde primer orden, segundo orden y en general, orden superior.

La Linealidad de una derivada lo determina lapotencia de las variables dependientes de la ecuación: si la potencia de las variables es uno, se denomina ecuación diferencial lineal, y si la potencia es diferente de uno, se dice que es una ecuación diferencial no lineal.

1.2. Ejemplos. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden
y su linealidad.


1) Ecuación diferencial ordinaria de primer orden,lineal


2) Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal


3) Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal


4) Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no lineal


5) Ecuación diferencial parcial de primer orden, lineal


6) Ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal


7) Ecuación diferencial ordinaria de primer orden,no lineal

8) Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal


9) Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal


10) Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal

1.2. Ejercicios. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su linealidad.


1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)8)


9)


10)
UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN


2.1. INTRODUCCIÓN

En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:



Sujeta a la condición adicional

Conocido también como el problema del valor inicial. En términos geométricos, se está interesado en buscar al menos una solución o curva por dondepase el punto dado, de una familia de curvas que representan a la ecuación diferencial ordinaria.





Fig. 2.1. Familia de curvas que representan la solución de una ecuación diferencial. Por un punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia.
2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VARIABLES SEPARABLES

Definición. Se dice que una ecuación diferencial dela forma



es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:



E integrado de ambos lados se tiene:



Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual queda expresada de manera explícita o de manera implícita.


Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de integración, ya que la...