Mapa conseptual ecuaciones diferenciales

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Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:
(1a)
o en su forma implícita:
(1b)
Contenido
• 1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden
o 1.1Ecuaciones de variables separables
o 1.2 Ecuaciones homogéneas
o 1.3 Ecuaciones lineales de primer orden
o 1.4 Ecuación diferencial de Bernoulli
• 2 Véase también

[editar] Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden
[editar] Ecuaciones de variables separables
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:
(2a)
se dirá que esuna ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:
(2b)
[editar] Ecuaciones homogéneas
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Porejemplo:

sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:
o bien
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizarsolo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
(3a)
introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:
(3b)
[editar] Ecuaciones lineales de primer orden
La ecuación diferencial lineal de primer orden tienela forma:
(4a)
Y la solución de la misma viene dada por:
(4b)
En el caso particular y , la solución es:
(4c)
[editar] Ecuación diferencial de Bernoulli
Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:
(5a)
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:
(5b)
[editar] Véase también
METODOS PARA RESOLVER ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
I) ECUACIONES DIFERENCIALES A VARIABLES SEPARADAS O SEPARABLES
Las ecuaciones a variables separadas son de la siguiente forma:
f(y)dy = g(x)dx
Se resuelve integrando ambos miembros:
"f(y)dy = "g(x)dx
H(y)= G(x)+C
En cambio, si tenemos una ecuación diferencial de la siguiente forma:
F(x,y(x))dy = g(x,f(x))dx
Si es posible descomponer ambos miembros de laigualdad en producto de funciones de una sola variable, es decir:
F(x,f(x)) = f1(x).f2(f(x))
G(x,f(x)) = g1(x).g2(f(x))
Resulta una ecuación diferencial a variables separables:
f1(x).f2(y(x))dy = g1(x).g2(f(x))dx
Agrupamos según las variables:
f2(y(x))/g2(y(x))dy = f1(x)/g1(x)dx
Integro en ambos miembros y resuelvo:
"f2(y(x))/g2(y(x))dy = "f1(x)/g1(x)dx
H(y(x))= G(x)+C
II) ECUACIONESDIFERENCIALES HOMOGENEAS DE 1º ORDEN
Recordamos la definición de función homogénea:
Una función f(x,y) es homogénea de grado `m' si se verifica la siguiente igualdad:
F( x, y) = f(x,y) R
A partir de ahora nos interesaran únicamente las funciones homogéneas de grado cero.
Estas funciones poseen una característica especial: siempre es posible expresarlas como una función del cociente y/x ox/y.
DEFINICION DE ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGENEA DE 1º GRADO
Es de la forma y´=f(x,y) una función homogénea de grado cero.
Teniendo en cuenta la característica especial de las funciones homogéneas de grado cero podemos expresar a la ecuación dada así:
Y´=f(y/x)
Por lo tanto, la sustitución apropiada es:
Y(x)/x=z(x) (z es función de la misma variable independiente que y/x)
Y(x)=z(x).x...
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