Markov UABC




TRABAJO 2 QM
1. Determine la distribución límite de una cadena de Markov X0, X1, X2, … que asume los estados 0, 1 y 2 y tiene la matriz de probabilidades de transición



Formular:
P0 = 0.7P0 + 0P1 + 0.5P2
P1 = 0.2P0 + 0.6P1 + 0P2
P2 = 0.1P0 + 0.4P1 + 0.5P2
1 = P0 + P1 + P2
Resolver:

Interpretar:
En el largo plazo, el 47% se encontrara en el estado 0 (A), el 23% en elestado 1 (B) y 28% en el estado 2 (C).

2. Suponga que las clases sociales de generaciones sucesivas en una familia siguen una cadena de Markov con la matriz de probabilidades de transición que se da más abajo. En el largo plazo, ¿qué fracción de las familias estará en la clase alta?




Formular:
P0 = 0.7P0 + 0.2P1 + 0.1P2
P1 = 0.2P0 + 0.6P1 + 0.4P2
P2 = 0.1P0 + 0.2P1 + 0.5P2
1 = P0 + P1+ P2
Resolver:

Interpretar:
Clase Baja: estará el 35% de las familias
Clase Media: se encontraran el 41% de las familias
Clase Alta: en la cual se encuentra el 23% de las familias


3. Un autobús en un sistema masivo de transporte opera en una ruta continua con paradas intermedias. Se clasifica la llegada del autobús en uno de tres estados, a saber: Llegada temprana, llegada a tiempoy llegada tardía.

Suponga que los estados sucesivos forman una cadena de Markov con la matriz de probabilidad de transición que se da más abajo. En un periodo largo de tiempo, ¿qué fracción de las llegadas se puede considerar tardía?

Temprano
A tiempo
Tarde
Temprano
0.2
0.6
0.2
A tiempo
0.4
0.5
0.1
Tarde
0.3
0.4
0.3

Formular:
P0 = 0.2P0 + 0.4P1 + 0.3P2
P1 = 0.6P0 +0.5P1 + 0.4P2
P2 = 0.2P0 + 0.1P1 + 0.3P2
1 = P0 + P1 + P2
Resolver:

Interpretar:
1.- Tenemos que la llegada temprana, el porcentaje de probabilidad que se dé es del 0.353.
2.- El porcentaje de probabilidad que se dé la llegada a tiempo es del 0.4118.
3.- Y por último el porcentaje de probabilidad de las llegadas tardías es del 0.2353.
4. Los cuatro pueblos A, B, C y D están conectados porlíneas de ferrocarril como se muestra en la figura (todas son en ambos sentidos)


A
B
C
D
A
0
0.6
0
0.4
B
0.6
0
0.2
0.2
C
0
1
0
0
D
0.4
0.6
0
0

Cada día, sin importar en qué pueblo se encuentre, él conductor de un tren elige una de las líneas que salen del pueblo y la recorre hasta el pueblo siguiente, donde el proceso se repite al día siguiente
A la larga, ¿cuál esla probabilidad de encontrar al tren en el pueblo D?

Formular:
P0 = 0P0 + 0.6P1 + 0P2 + 0.4P3
P1 = 0.6P0 + 0P1 + 1P2 + 0.6P3
P2 = 0P0 + 0.2P1 + 0P2 + 0P3
P3 = 0.4P0 + 0.2P1 + 0P2 + 0P3
1 = P0 + P1 + P2 + P3
Resolver:

Interpretar:
La probabilidad de encontrar el tren en el pueblo D es del 0.2068 convirtiéndose en el pueblo con el tercer porcentaje de probabilidad.
5. Ejemploprototipo: Inventarios
Considérese una tienda de fotografía con un problema de inventarios .Sea Di la demanda de cámaras de tipo K que tiene la tienda durante la semana i, i = 1,2,… y suponga que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que siguen la distribución Poisson con media l = 1. Sea Xt el número de cámaras con que la tienda cuenta al final de la semana t,para t = 0,1,… y supongamos que X0 = 3, de modo que al principio se cuenta con 3 cámaras en inventario, entonces {Xt} = {X0, X1, X2,…} es un proceso estocástico que representa el número de cámaras con que se cuenta al final de la semana t.
El dueño de la tienda sigue la política de pedidos que se describe a continuación:
Al final de cada semana t, se revisa el inventario y:
Si Xt = 0, entoncesse hace un pedido por tres cámaras
Si Xt > 0, entonces no se hace pedido alguno

Suponga que el sistema de inventarios descrito tiene la matriz de transición


1 Cámara
2 Cámaras
3 Cámaras
4 Cámaras
1 Cámara
0.080
0.184
0.368
0.368
2 Cámaras
0.632
0.368
0
0
3 Cámaras
0.264
0.368
0.368
0
4 Cámaras
0.080
0.184
0.368
0.368

Suponga además que la tienda incurre en un...