Martingalas

DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

UNIVERS IDAD DE SONORA

Una Introducci

de Martingalas

Presenta:

ROSALÍA GUADALUPE HERNÁNDEZ AMADOR

Director: Dr. Jesús Adolfo Minjárez Sosa

Hermosillo, Sonora

Agosto 2002

A mis padres

Este trabajo fue financiado y apoyado por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) dentro delproyecto "Control Adaptado de Sistemas Estocásticos", con clave 37239E, bajo la dirección del Dr. Jesús Adolfo Minjárez Sosa.

Índice General
0.1 Introducción 2

1 Elementos de la Teoría de Probabilidad y Procesos Estocásticos 4 4 1.1 Introducción 4 1.2 Probabilidad Condicional 6 1.3 Variables y Vectores Aleatorios 11 1.4 Esperanza y Esperanza Condicional 12 EsperanzaCondicional 1.4.1 18 1.5 Procesos Estocásticos 19 1.5.1 Cadenas de Markov 2 Martingalas 2.1 Introducción 2.2 Estrategias de Apuestas 2.3 Martingalas 2.4 Martingalas y Cadenas de Markov 3 Teorema de Paro Opcional y Convergencia de Martingalas 3.1 Introducción 3.2 Teorema de Paro Opcional 3.3 Teorema de Convergencia de Martingalas 24 24 24 28 35 38 38 38 41

110

1

0.1Introducción
Indudablemente, la probabilidad es una de las ramas de la matemática que ha jugado un papel fundamental en la solución de problemas específicos que se presentan en otras áreas del conocimiento. Esto se debe a que muchos de estos problemas se pueden modelar mediante una familia de variables aleatorias parametrizadas por el tiempo, como por ejemplo, sistemas dinámicos en los queintervienen elementos aleatorios los cuales representan cierta incertidumbre que influye en el comportamiento del sistema, problemas de decisiones secuenciales, dentro de los cuales se encuentran los juegos de apuestas sucesivas y entre otros. A dicha familia de variables aleatorias se les conoce como procesos estocásticos . Existen muchos tipos de procesos estocásticos cuya clasificación se tiene enbase a sus propiedades particulares. Por ejemplo, procesos estacionarios, con incrementos independientes, de Markov, martingalas, etc., aunque esta clasificación no los hace excluyentes. La teoría desarrollada para cada uno de estos procesos es muy amplia y podríamos decir que independientes una de la otra. De los ternas más estudiados en los cursos de procesos estocásticos nivel licenciatura sonlas cadenas de Markov. Quizá esto se debe a que sus propiedades basadas en la definición de probabilidad condicional, son muy intuitivas y tienen aplicaciones directas y muy sencillas. Por lo contrario, las martingalas, cuyas propiedades se enfocan en la definición de esperanza condicional, es un tema que por lo general se excluye de los cursos, aun siendo igual de importantes que las cadenas deMarkov. Esto constituye la motivación principal de desarrollar este trabajo. Si recurrimos al diccionario de la lengua española para ver el significado de la palabra martingala nos podemos topar con lo siguiente: calza que los hombres de armas llevaban debajo de los quijotes; en el juego del monte, lance que consiste en apostar simultáneamente a cuatro cartas de las del albur contra la quinta;combinación que permite ganar el juego;

2

entre otros, y como sinónimo: artimaña, marrullería, trampa. Sin embargo, en matemáticas, las martingalas son una clase de procesos estocásticos cuyo surgimiento fue motivado precisamente al modelar juegos de azar justos, aunque en el transcurso de los años, su desarrollo ha alcanzado importantes aplicaciones en otras áreas, así como dentro de lamatemática misma [ver, e.g., [4]]. El objetivo de este trabajo es presentar una introducción a la teoría de martingalas. En este sentido nos restringiremos al caso más sencillo: procesos estocásticos discretos a tiempo discreto. Sin embargo, esto no hace que el trabajo carezca de importnancia, ya que existen muchos problemas reales que se modelan en este contexto, como por ejemplo, problemas de apuestas...