Mate 3 unidad 5

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE APATZINGÁN
UNIDAD 5
INTEGRALES MÚLTIPLES

ING. INDUSTRIAL

MATEMÁTICAS III

PROFESOR: ING. David moreno Esquivel

ALUMNO: SOTO LÁZARO ERICK

Fecha: 26 de noviembre del 2010
5.1 INTEGRALES ITERADAS
Suponemos que z = f(x, y) es continua en cada (x, y) F. Formemos la integral simple con respecto a x donde se mantiene fijo Y al realizarla integración.
Naturalmente, el valor de la integral anterior dependerá del valor utilizado para Y o sea que podemos escribir:
La función A (y) está definida para c y d y se puede demostrar que si f(x, y) es continua en F entonces A (y) es continua en [c, d].

Se puede calcular la integral de A (y) y se escribe
Podríamos haber fijado primero x, luego formar la integral entoncesObsérvese que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de INTEGRALES ITERADAS.

En integramos primero con respecto a x (considerando y constante) y luego con respecto a y; en integramos utilizando un orden inverso.

Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.
Esta situación es más complicada que la que hemosvisto.
Consideremos una región F donde la frontera está formada por las rectas x = a, x = b, y = p(x), y = q (x) con p(x) < q(x) para a x b. Definimos donde primero integramos (para x fijo) desde la curva inferior hasta la superior, es decir a lo largo de un segmento típico. Luego integramos con respecto a x desde a hasta b. Con mayor generalidad se puede definir las integrales iteradassobre una región F, integrando primero respecto de y tenemos integrando respecto de x será

5.2 DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE. ÁREAS Y VOLÚMENES


Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es deconsiderar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es,
F(x, y)= 1, o F(x, y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA
Ahora para designar laintegral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx
Algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A ypodemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An
Sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace mástupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación "A" F(x, y) dA

La integral doble "A" F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) está dado en
z= F(x, y)El término
F (xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto.
La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An...