MATE APLICADA

Apunte Matem´ticas 4. 2014
a
Manuel Arenas, Sergio Mu˜oz
n
2014

´
Indice
1. Derivaci´n en varias variables
o
1.1. Introducci´n y repaso . . . .
o
1.2. L´
ımites y continuidad . . . .
1.3. Gu´ 1 Matem´ticas 4. . . .
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a
1.4. Derivaci´n . . . . . . . . . .
o

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2. Extremos de funciones
2.1. Extremos en el interior del dominio . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
2.2. Gu´ 2 Matem´ticas 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Extremos en bajo restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19

3. Diagonalizaci´n
o
3.1. Una introducci´n indirecta mediante Cadenas de Markov
o
3.2. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.Diagonalizaci´n de matrices con valores propios reales . .
o
3.4. Gu´ 3 Matem´ticas 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. N´ meros Complejos
u
4.1. Forma polar o trigonom´trica de un n´mero complejo: .
e
u
4.2. Potencias de n´meros complejos. . . . . . . . . . . . .
u
4.3. Polinomios y n´meros complejos . . . . . . . . . . . . .
u
4.4. Gu´ 4 Matem´ticas 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5. Diagonalizaci´n y n´meros complejos . . . . .. . . . .
o
u

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5. Ecuaciones diferenciales
5.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . . . . . . . . . . .
5.1.1. Ejemplos de Ecuaciones lineales homog´neas . . . . . . . . . . .
e
5.1.2. El m´todo de separaci´n de variables para resolver algunas EDO
e
o
5.2. Soluci´n general EDO Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.3. Gu´ 5 Matem´ticas 4. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mate 4

Manuel Arenas / Sergio Mu˜oz
n

F. Ciencias/UChile

6. Ap´ndice
e

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A. Polinomios de coeficientes reales

62

2

Mate 4

1.

Manuel Arenas / Sergio Mu˜oz
n

F. Ciencias/UChileDerivaci´n en varias variables
o

1.1.

Introducci´n y repaso
o

El objetivo es extender la noci´n de derivada y sus aplicaciones a las funciones de varias
o
variables y varias componentes, es decir
Definir el concepto funci´n diferenciable para funciones de la forma f : A ⊆ Rn → R y
o
→
−
n
de la forma F : A ⊆ R → Rm
Determinar qu´ es, en tal caso, la derivada de tales funciones.
eAprovechar derivadas para extender a funciones entre vectores las aproximaciones afines, estudios de m´ximos y m´
a
ınimos, y relacionarlo con integrales.
Fijamos nomenclatura:
Si m > 1, decimos que f : I ⊆ R → Rm es una curva en Rm .
Si n > 1, decimos que f : A ⊆ Rn → R es una funci´n real de varias variables.
o
→
−
Si n > 1 y m > 1, decimos que F : A ⊆ Rn → Rm es una funci´n vectorial devarias
o
variables.
Ya vimos en el curso anterior c´mo derivar curvas, que tienen una unica variable, derio
´
vando componente a componente, y su derivada era un vector de Rm si la curva iba de un
subconjunto de R a Rm formado por las dervadas de cada componente, es decir, si m > 1


f1 (t)
 f2 (t) 


m
y f : I ⊆ R → R con f (t) =  . , entonces su derivada en un punto c ∈ I es...