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1.3 Leyes de Gauss.
La ley de Gauss establece que "El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total que está dentro de la superficie".
La importancia de la contribución de Gauss no radica en establecer la ley, sino en darle una expresión matemática.
Si imaginamos una distribución de carga, mostrada como una nube de cargas puntuales, en la figura1.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma. La superficie cerrada podría ser la superficie de algún material real, pero más generalmente podría ser cualquier superficie cerrada que deseemos visualizar. Si la carga total es Q, entonces pasarán Q Coulombs de flujo eléctrico por el interior de la superficie. En cada punto de la superficie el vector de densidad de flujo eléctrico Dtendrá un valor Ds, donde el subíndice s nos recuerda que D debe evaluarse en la superficie, y Ds en general va a variar en magnitud y dirección de un punto a otro de la superficie.
Ahora vamos a considerar un elemento incremental ΔS de la superficie, el cual es tan pequeño que puede considerarse una porción plana de la superficie, la completa descripción de Δs requiere no sólo su magnitud, sinotambién su dirección, es decir, su orientación en el espacio .
En otras palabras ΔS es una cantidad vectorial. La única dirección que se le puede asociar a ΔS es la dirección de la normal al plano que es tangente a la superficie en el punto en cuestión. Existen dos normales que podrían asociarse a ΔS, se selecciona la que "salga" de la superficie cerrada.
 
[pic]
Figura 1.2 Ilustración de laobtención de la ley de Gauss para campos eléctricos.
 
Consideremos un elemento ΔS en cualquier punto P y sea θ el ángulo que forman Ds con ΔS , como se muestra en la figura 1.1. Entonces, el flujo que pasa a través de ΔS es el producto de la componente normal de Ds y de Δs,
Δψ = flujo a través de ΔS = (Ds, normal)(Δ s) = (DsCosθ)( ΔS)   Ecuación 1.12
Si aplicamos la definición de producto punto: A.B =|A||B|CosθAB.
 
Entonces:
 Δψ = Ds.ΔS  Ecuación 1.13
El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando todas las contribuciones diferenciales de flujo que pasan a través de ΔS
 [pic] Ecuación 1.14
 
En el límite, cuando el incremental de superficie (infinitesimal) ΔS tiende a cero, la doble sumatoria se convierte en una doble integral:
[pic]    Ecuación 1.15
 La integral resultante es una integral de superficie cerrada y puesto que ds siempre involucra las diferenciales de dos coordenadas, entonces la integral es una doble integral, se utiliza una S abajo del signo de la integral para indicar que es una integral de superficie. Una última convención es poner un pequeño círculo en el signo de la integral para indicar que la integral se va a hacer sobreuna superficie cerrada. Entonces la formulación matemática de la ley de Gauss es:
[pic]   Ecuación 1.16
Ahora, la carga contenida podrían ser varias cargas puntuales:
[pic]   Ecuación 1.17
O una carga lineal (que tiende de n a infinito).
[pic]   Ecuación 1.18
O una carga de superficie
[pic]  Ecuación 1.19
O una carga de volumen
[pic]   Ecuación 1.20
La última forma es la más usada ydebemos estar de acuerdo en que es una generalización de las tres anteriores. La ley de Gauss se puede escribir como:
[pic]   Ecuación 1.21
Una expresión matemática que simplemente quiere decir que "El flujo eléctrico total que puede pasar a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga contenida por esa superficie". Esta es la primer ley de Gauss y la tercer ecuación de Maxwell.
Hemosobtenido la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral, para su forma en producto punto aplicamos el teorema de la Divergencia a la parte izquierda de 1.21:
El teorema de la divergencia nos dice que:
 
[pic]   Ecuación 1.22
 
 donde V es el volumen contenido o limitado por la superficie S.
Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo de la ecuación 1.21:
[pic]  ...
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