Mate

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Sobre el ´rbelos a
Francisco Javier Garc´ Capit´n ıa a Almer´ verano de 2002 ıa,

A

C

B

´ Indice
1. ¿Qu´ es el ´rbelos? e a 2. Algunas propiedades del ´rbelos a 3. Un resultado previo 4. Los 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. c´ ırculos gemelos Demostraci´n de Arqu´ o ımedes . . . . . . . . . . . . . . . Construcci´n de los c´ o ırculos gemelos con regla y comp´s a Demostraci´n por elteorema de Pit´goras . . . . . . . . o a Coordenadas de los c´ ırculos gemelos . . . . . . . . . . . . Los c´ ırculos de Bankoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La familia crece y crece... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Los c´ ırculos de Schoch . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Los c´ ırculos de Dodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bankoff .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 6 6 7 8 9 10 11 12 16 18 18 20 21 24 25 27

5. El c´ ırculo inscrito en el ´rbelos a 5.1. La demostraci´n de Arqu´ o ımedes . . . . 5.2. Demostraci´n por la f´rmula de Her´n o o o 5.3. Otros caminos . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Construcci´n con regla y comp´s .. . o a 5.5. El c´ ırculo inscrito y el c´ ırculo trillizo de 6. La cadena de Pappus

7. Otras sorpresas 30 7.1. El ´rbelos decagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 7.2. La propiedad de Gaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.3. El ´rbelos de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 a A. Inversi´n o 37 A.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37 o A.2. Circunferencias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 A.3. Propiedades de la inversi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 o B. Un teorema de Casey 42

1.

¿Qu´ es el ´rbelos? e a

El ´rbelos es la figura que se obtiene quitando a un semic´ a ırculo de di´mea tro AB los semic´ ırculos de di´metros AC y CB, siendo C un puntointermedio a entre A y B.

A

C
Figura 1: El ´rbelos a

B

El nombre ´rbelos procede del griego y quiere decir cuchilla de zapaa tero. Fue estudiado por por Arqu´ ımedes (287-221 a.C.). Muchas propiedades del ´rbelos aparecen en el Libro de los Lemas (Liber Asumptorum), de a Arqu´ ımedes. El Libro de los Lemas ha llegado hasta nosotros a trav´s de e una traducci´n al ´rabe de Thabit ibn Qurra.Seguramente no fue escrito o a directamente por Arqu´ ımedes, ya que en el texto se le cita varias veces; pero algunas de las proposiciones pueden tener f´cilmente un origen arquimediano, a sobre todo las que se refieren al ´rbelos y al salinon, y la Proposici´n 8, que a o trata de la trisecci´n de cualquier ´ngulo. En el Libro de los Lemas tambi´n o a e aparece, en forma de epigrama, el famosoproblema del ganado o problema bovino de Arqu´ ımedes. Recientemente, atrajo la atenci´n de Leon Bankoff, que, fallecido en 1997 o ´ a la edad de 88 a˜os, era un dentista de Los Angeles aficionado a las man tem´ticas. Leon Bankoff colabor´ con el ge´metra franc´s Victor Th´bault a o o e e en la preparaci´n de un manuscrito para un libro de 10 cap´ o ıtulos con propiedades ya conocidas y otras nuevassobre el ´rbelos. A la muerte de Victor a Th´bault, el material pas´ a Bankoff, y a la muerte de ´ste a Clayton W. e o e Dodge, de la Universidad de Maine, quien en 1999 afirm´ que le llevar´ de o ıa cinco a diez a˜os ordenar todo el material, que ocupaba tres maletines. n 1

2.

Algunas propiedades del ´rbelos a

Tracemos la tangente com´n a los dos c´ u ırculos menores, que corta a lacircunferencia mayor en D. Desde D, tracemos segmentos a A y B que cortan a las circunferencias menores en X e Y , respectivamente.

D X Y

A

C
Figura 2: Propiedades del ´rbelos. a

B

Con esta notaci´n se cumplen las siguientes propiedades: o 1. Los segmentos CD y XY se cortan uno al otro en sus puntos medios. 2. XY es tangente a los dos semic´ ırculos menores. 3. El ´rea del ´rbelos es la...
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