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Preliminares Derivación de la matriz de rotación Comentarios sobre la rotación Modelado en 3D con OpenGL y glut

Transformaciones en 3D Matriz de rotación y pila de matrices.
Jorge Antonio García Galicia.

19 de marzo del 2010

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Transformaciones en 3D.

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Proyección de vectores

Lema: Sean u y v dos vectores en R3 , entonces el vector que representa la (v · u)u proyección del vector v en dirección de u es. . Y si u = 1 u 2 entonces es (v · u)u.

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Transformaciones en 3D.

Preliminares Derivación de la matriz de rotación Comentarios sobre la rotación Modelado en 3D con OpenGL y glutForma matricial de la proyección

Lema: Sean u y v dos vectores en R3 con u = 1. Entonces la proyección sobre u puede llevarse a cabo multiplicando el vector v por la matriz de proyección de u, es decir:    2 v1 u1 u1 u2 u1 u3 2 Proju v = uut v = u1 u2 u2 u2 u3  v2  2 v3 u1 u3 u2 u3 u3

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Distributividad del producto cruz

Lema: El producto cruz se distribuye sobre la suma, es decir: u × (v + w) = (u × v) + (u × w) para u, v, w ∈ R3 .

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Forma matricial del producto cruz

Lema: El producto cruz u × v puede respresentarse por medio de una matriz: Mu× v la matriz del producto cruz de u. Es decir:    0 −u3 u2 v1  u3  v2  0 −u1 u × v = Mu× v = −u2 u1 0 v3

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Interpretación geométrica del producto cruz

Lema: El producto cruz u × v es un vector ortogonal a u y ortogonal a v. La magnitud del producto cruz u × v = u v sin ϕ. En donde ϕ es el ángulo de u hasta v medido de manera que 0 ≤ ϕ ≤ 180◦ .

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Matriz de rotación

Teorema: La rotación de un punto v alrededor de un vector unitario u, que pasa por el origen, en un ángulo θ puede representarse por la matriz Rθ,u . Es decir: Rθ,u v =    2 (1 − c)u1 u2 − su3 (1 − c)u1 u3 + su2 v1 (1 − c)u1 + c 2+c  v2  (1 − c)u1 u2 + su3 (1 − c)u2 (1 − c)u2 u3 + su1 2 v3 (1 − c)u1 u3 − su2 (1 − c)u2u3 + su1 (1 − c)u3 + c En donde: c = cos θ y s = sin θ.

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Situación geométrica

Figura: El vector v es rotado alrededor de u. El vector v1 es la proyección de v sobre u. El vector v2 es el componente de v ortogonal au. El vector v3 es una rotación de v2 de 90◦ alrededor de u. Todas las lineas punteadas se cortan en ángulos rectos.
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Rotación de v2

Figura: El vector v2 siendo rotado alrededor de u. Esta situación es la misma que enla figura anterior pero desde otro punto de vista

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Rotación sobre el eje z

Tomando la matriz del rotación en coordenadas homgeneas con u = k = 0, 0, 1 . Se convierte en la siguiente matriz:   cos θ − sin θ 0 0 ...
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