Mate

Clasificación de números |
Complejos  | Reales  | Racionales  | Enteros  | Naturales  | Naturales primos |
Naturales compuestos |
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Cero |
Enteros negativos |
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Fraccionarios | Fracción propia |
Fracción impropia |
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Irracionales | Irracionales algebraicos |
Trascendentes |
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Imaginarios puros |
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Números Reales (R)
Los númerosreales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitosformales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie deparadojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.
Ejemplo:

Números Racionales (Q)
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un naturalpositivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q. Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, obien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, adiferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre  .Ejemplo:

Números Irracionales (I)
Un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado laclasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales noperiódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no...