Mate

Circunferencia de los nueve puntos
Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a la circunferencia asociada a cada triángulo. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nuevepuntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son:
El punto medio de cada lado del triángulo, los pies de las alturas, y los puntos medios delos segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.
El Teorema de Feuerbach
El Teorema de Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo XIX . Yrealmente no es para menos...
Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son losque definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres.

La circunferencia de Feuerbach
Dos puntoscualesquiera del plano determinan una única recta. Eso lo sabemos desde el colegio. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única circunferencia.
Por lo que hemos dichoantes, como estos tres puntos no están alineados seguro que existe una única circunferencia que pasa por ellos.
Pues curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están enla misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta que sonexactamente la misma.
Si trazamos las mediatrices de cada uno de los lados (la mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio) nos encontramos con quelas tres rectas se cortan también en un único punto, llamado circuncentro. Pues sorprendentemente el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el ortocentro que...