Mate

Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gonz´lez a

1

Soluci´n general de un sistema no homog´neo o e

Teorema 1 Consideremos el sistema SEDL no homog´neo X = A(t)X + G, donde A(t) es cone tinua, y sea Xp una soluci´n particular cualquiera. Entonces Xh es una soluci´n del SEDL hoo o mog´neo X = A(t)X si, y s´lo si, Y = Xh + Xp es una soluci´n del SEDL no homog´neo e o o e X =A(t)X + G. Demostraci´n: Supongamos primero que Xh es una soluci´n del sistema homog´neo, es decir, o o e Xh = A(t)Xh . Como Xp es una soluci´n del sistema no homog´neo tenemos que Xp = A(t)Xp + G o e y, en consecuencia,

y sumando las ecuaciones obtenemos que

de donde Y =

Es decir, Y = A(t)Y + G y as´ Y es soluci´n del sistema no homog´neo. ı o e Rec´ ıprocamente, si Y es soluci´n delsistema no homog´neo entonces, como Xh = Y − Xp , o e tenemos que Xh = Y − Xp = Y − Xp = A(t)Y + G − A(t)Xp − G = A(t) Y − Xp = A(t)Xh , 2

En la clase pasada, vimos algunos m´todos para encontrar de forma eficiente un conjunto lineale mente independiente de soluciones que generen todas las soluciones de un SEDL homog´neo donde e la la funci´n matricial A(t) es constante (es decir, no depende de t).o 1

De

esto es, Xh es soluci´n del sistema homog´neo. o e

pa rta

= A(t)Xh + A(t)Xp + G = A(t) Xh + Xp + G = A(t)Y + G.

me n

Xh + Xp = A(t)Xh + A(t)Xp + G

Xh + Xp

to

Xh = A(t)Xh Xp = A(t)Xp + G

= Xh + Xp

de

M at

em ´t a ic

MA2115 Clase 16: Sistemas de ecuaciones diferenciales no-homog´neos. e M´todo de variaci´n de par´metros e o a

as

X g = X h + X p= c1 X 1 + c2 X 2 + · · · + cn X n + X p , donde Xh denota la soluci´n general del sistema homog´neo X = A(t)X. o e

Xh (t0 ) = c1 X1 (t0 ) + c2 X2 (t0 ) + · · · + cn Xn (t0 ), y ahora, haciendo B0 = Xh (t0 ), vemos que el Problema de valores iniciales X = AX;

Ejemplo 1 Verifique que Xp =

me

Ahora bien, de acuerdo al teorema anterior, la soluci´n general del sistema es en efecto Xg = oX h + X p = c1 X 1 + c2 X 2 + · · · + cn X n + X p . 2 3t − 4 −5t + 6 1 3 5 3 es una soluci´n particular del sistema o 12t − 11 −3

art a

nt

tiene dos soluciones, a saber, Xh y c1 X1 + c2 X2 + · · · + cn Xn , de donde, en virtud de la unicidad de soluciones de problemas a valores iniciales (porque A es continua), tenemos que dichas soluciones tienen que coincidir, esto es, X h = c1 X 1 +c2 X 2 + · · · + cn X n .

X =

o

de
X+

M

X(t0 ) = B

Luego encuentre la soluci´n general del sistema. o Soluci´n: Por una parte, la derivada de Xp = o otra parte, haciendo A = 1 3 5 3 1 3 5 3 yG=

De p

3t − 4 est´ dada por Xp = a −5t + 6 12t − 11 tenemos que −3 = 2 −12t + 14 −2 + 12t − 11 −3

at e
.

Demostraci´n: Sea VA el espacio de soluciones del sistema homog´neo X =A(t)X. De acuerdo o e a nuestras hip´tesis, sabemos que existen al menos n vectores linealmente independientes en VA , o a saber, los vectores dados por las soluciones X1 , X2 , . . . , Xn . Sea Xh una soluci´n cualquiera de o X = A(t)X. Para cada t0 ∈ I, los vectores X1 (t0 ), X2 (t0 ), . . . , Xn (t0 ) forman una base base de Rn (ver Clase 14, Teorema 2) y, en consecuencia, Xh (t0 ) puede serexpresado como combinaci´n lineal o de dichos vectores, es decir, existen c1 , c2 , . . . , cn ∈ R tales que

m´ at ic

homog´neo X = A(t)X, donde A(t) es continua y n×n, y sea Xp una soluci´n particular cualquiera e o del SEDL no homog´neo X = A(t)X + G. Entonces la soluci´n general del SEDL no homog´neo e o e X = A(t)X + G est´ dada por a

AXp + G =

3t − 4 −5t + 6

+

12t − 11 −3as
3 −5 =

Teorema 2 Sea X1 , X2 , . . . , Xn un conjunto de soluciones linealmente independientes del SEDL

y, por

3 −5

,

X g = X h + X p = c1 X 1 + c2 X 2 + X p = c1 c1 e−2t + 3c2 e6t + 3t − 4 −c1 e−2t + 5c2 e6t − 5t + 6

1 −1

e−2t + c2

em ´t a ic
3 5 e6t +

de donde claramente obtenemos que Xp = AXp + G. Usando la t´cnica de autovalores discutida en e 3 1 la clase...