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Primera ecuación ordinaria de la hipérbola.
Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos F y F1 están sobre el eje X. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF1, las coordenadas de F y F1 serán (c,0) y (-c,0) respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Entonces, por la definiciónde la hipérbola el punto P debe satisfacer la condición geométrica siguiente, que expresa el valor absoluto de las diferencias de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante, en donde a es una constante positiva y 2a<2c . La condición geométrica (1) es equivalente a las dos relaciones,

La relación (2) es verdadera cuando P esta sobrela rama izquierda de la hiperbola, la relación (3) se verifica cuando P esta sobre la rama derecha.
Por el teorema 2, Articulo 6, tenemos

De manera que la condición geométrica (1) esta expresada analíticamente por

Correspondiendo las ecuaciones (4) y (5) a las relaciones (2) y (3), respectivamente.
Por el mismo procedimiento usado al transformar y simplificar la ecuacion (2) delarticulo 61 para la elipse, podemos demostrar que las ecuaciones (4) y (5) se reducen cada una a

Por ser c>a, es un numero positivo que podemos designar por Por tanto, sustituyendo en la ecuacion (6) la relacion obtenemos

Que puede escribirse en la forma

Podemos demostrar reciprocamente, que si es un punto cualquiera cuyascoordenadas satisfacen la ecuacion (8), entonces P1 satisface la condicion geometrica (1) y, por lo tanto, esta sobre la hiperbola. Luego la ecuacion (8) es la ecuacion de la hiperbola.
Estudiemos ahora la ecuacion (8) de acuerdo con el articulo 19. Las intersecciones con el eje X son a y –a. Por tanto, las coordenadas de los vertices V y V son (a,0) y (-a,0), respectivamente, y la longitud del ejetransverso es igual a 2ª, que es la constante que interviene en la definicion. Aunque no hay intersecciones con el eje Y, dos puntos, A(0,b) y A1(0, -b) se toman como extremos del eje conjugado. Por tanto, la longitud del eje conjugado es igual a 2b.
La ecuacion (8) muestra que la hiperbola es simetrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen. Despejando y de la ecuacion (8), resulta:Por tanto, para que los valores de y sean reales, x esta restringida a variar dentro de los intervalos De aquí que niguna porcion del lugar geometrico aparece en la region comprendida entre las rectas x=a y x= -a.
Despejando x de la ecuacion (8) se obtiene:

De la cual vemos que x es real para todos los valores reales de y. Según esto las ecuaciones (9) y(10), juntas, con lasimetria del lugar geometrico, muestran que la hiperbola no es una curva cerrada, sino que consta de dos ramas diferentes, una de las cuales se extiende indefinidamente hacia la derecha, arriba y abajo del eje X, y la otra se extiende indefinidamente hacia la izquierda y por arriba y abajo del eje X.
La hiperbola (8) no tiene asintotas verticales ni horizontales.
En el siguiente articulodemostraremos que la curva tiene dos asintotas oblicuas. De la ecuacion (9) y de la relacion (7), hallamos que la longitud de cada lado recto es
Como para la elipse, la escentricidad de una hiperbola esta definida por la razon Por tanto, de (7), tenemos

Como c > a, la excentricidad de una hiperbola es mayor que la unidad.
Si el centro de la hiperbola esta en el origen pero sueje focal coincide con el eje Y, allamos, analogamente, que la ecuacion de la hiperbola es

Las ecuaciones (8) y (12) las llamaremos primera ecuacion ordinaria de la hiperbola. Son las mas simples de esta curva por lo que nos referiremos a ellas como formas canonicas. Los resultados precedentes se resumen en el siguiente
TEOREMA 1. La ecuacion de la hiperbola de centro en el...