Mate

Páginas: 68 (16974 palabras) Publicado: 26 de octubre de 2012
Cap´ ıtulo 3

Formas Locales de Aplicaciones Diferenciables
En este cap´ ıtulo estudiaremos los teoremas de las Formas Locales de las Inmersiones y de las Submersiones en variedades, los cuales nos dicen la forma que tienen cierto tipo de aplicaciones en variedades.

o Definici´n 3.1 Sean M m y N n variedades C r . Decimos que una aplicaci´n C r , f : o M −→ N es una inmersi´n si, para cada p∈ M se tiene que la aplicaci´n lineal Df (p) : o o Tp M −→ Tf (p) N es inyectiva. En particular m n.

Si f : M −→ N es una inmersi´n entonces para cada p ∈ M existen sistemas de o coordenadas (U, ϕ) , (V, ψ) con p ∈ U y f (U ) ⊂ V , tales que los siguientes diagramas conmutan, 53

Sergio Plaza

54

f U V Tp M

Df (p) Tf (p) N

ϕ

c

ψ

Dϕ(p)

c

Dψ(f (p))

ϕ(U )

ψ ◦ f◦ ϕ−1

ψ(V )

Rm

D(fϕψ )(ϕ(p))

Rn

Luego, Df (p) es inyectiva si, y s´lo si, Dfϕψ (ϕ(p)) es inyectiva. Por lo tanto, f es una o o inmersi´n C r si y s´lo si para cada p ∈ M existen sistemas de coordenadas (U, ϕ) en M o con p ∈ U y (V, ψ) en N con f (U ) ⊂ V , tales que D(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) : Rm −→ Rn es inyectiva. Ejemplos. 1.- Sea f : M −→ N un difeomorfismo local de clase C r , rinmersi´n. o 2o Sea f : R −→ R2 definida por f (t) = (cos(t), sen(t)) , entonces f es una inmersi´n C∞ . En efecto, para cada t ∈ R se tiene que Df (t)λ = λ df (t) = (− sen(t), cos(t)) = 0 . Como dt 1 . Entonces f es una

df (t) df (t) , llamando v = , se tiene Df (t)λ = λ v y la aplicaci´n lineal o dt dt Df (t) : R −→ R2 , λ −→ λv , es inyectiva. 3.-

La aplicaci´n f : R −→ R3 dada por f (t) =(cos(t), sen(t), t) es una inmersi´n o o C∞ .

4.- Sean f : M −→ M1 y g : M −→ M2 aplicaciones C r , r (f (x), g(x)) es una inmersi´n C r . o

1 . Si f es una

inmersi´n, entonces la aplicaci´n (f, g) : M −→ M1 × M2 definida por (f, g)(x) = o o En efecto, para cada p ∈ M se tiene que D(f, g)(p)u = (Df (p)u, Dg(p)u) , luego D(f, g)(p) : Tp M −→ Tf (p) M1 × Tg(p) M2 es inyectiva, pues Df (p) lo es. Sergio Plaza Sean M m y N n variedades C r , r son inmersiones C r .

55 1 , dados p ∈ M y q ∈ N , las aplicaciones

5.-

iq : M −→ M × N y jp : N −→ M × N definidas por iq (x) = (x, q) , jp (y) = (p, y) En efecto, dado (x, y) ∈ M × N se tiene D iq (x) : Tx M −→ Tx M × Tq N y D jp (y) : Ty N −→ Tp M × Ty N son dadas por D iq (x)u = (u, 0) y D jp (y)v = (0, v) , y es claro que ambas soninyectivas. 6.- Sea f : ] − ∞, 1 [ −→ R2 la aplicaci´n f (t) = o df (t) dt y = 4t 4t2 t2 − 1 + 2 , 2 (1 + t2 )2 t + 1 (t + 1)2 t2 − 1 t(t2 − 1) , 2 t2 + 1 t +1 = 1 t2 + 1 , entonces

t4 − 1 + 4t2 4t , 1 + t2 t2 + 1

df (t) = (0, 0) si y s´lo si t = 0 y t4 − 1 + 4t2 = 0 . Estas ecuaciones no tienen o dt df (t) = (0, 0) para todo t ∈ ] − ∞, 1 [ , por lo tanto soluciones simult´neas. Luego, a dt ∞f es una inmersi´n C . o 7.- La aplicaci´n f : ] − 1, ∞ [ −→ R2 definida por f (t) = (t3 − t, t2 ) es una inmersi´n o o C ∞ e inyectiva. Note por otra parte que l´ t−→−1 f (t) = (0, 1) = f (1) , por lo tanto ım f −1 no puede ser continua en (0, 1) , y en consecuencia f no es homeomorfismo sobre su imagen. Para ver esto ultimo consideramos sucesiones (un )n∈N y (vn )n∈N ´ en ϕ( ] − 1, ∞[ ) comomuestra la figura, con l´ n−→∞ un = l´ n−→∞ vn = (0, 1) ım ım

un vn

Es claro que f −1 (un ) −→ 1 y f −1 (vn ) −→ −1 , luego f −1 no puede ser continua en el punto (0, 1) . Otro ejemplo donde ocurre algo similar se muestra en la siguiente figura

Sergio Plaza

56

un

vn

8.- Sea f : R −→ R2 la aplicaci´n definida por f (t) = o es una inmersi´n C o


1−t2 1+t2

,

2t 1+t2

. Esclaro que f

y que f (R) es el c´ ıculo S

1

menos un punto.

9.-

1 (cos(2πt), sen(2πt)) . Es f´cil ver que f a t es una inmersi´n C ∞ . La imagen de f es una curva que tiende espiralando hacia el o Sea f : ]1, ∞[ −→ R2 , dada por f (t) = origen cuando t −→ ∞ , y l´ t−→1 f (t) = (1, 0) . ım

f

1

10.- La aplicaci´n f : ]1, ∞[ −→ R2 , f (t) = o

t+1 (cos(2πt), sen(2πt)) , f...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Mate
  • Mate
  • Mate
  • Mate
  • Mate
  • Mate
  • Mate
  • Mate

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS