Mate021
Páginas: 64 (15872 palabras)
Publicado: 4 de mayo de 2010
´ Apuntes de Catedra N◦ 1 ´ Matematicas 021
Mauricio Godoy Molina Ayudante del Departamento de Matem´ticas a Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Valpara´ Chile ıso,
2
´ Indice
I Matem´ticas 021 a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 9 10 14 15 16 17
1 L´gica Proposicional:Enfoque Algebraico o 1.1 Propiedades, Definiciones y Teoremas . . . 1.1.1 Definiciones B´sicas . . . . . . . . . a 1.1.2 Leyes de la L´gica Binaria . . . . . o 1.2 Tipos de Demostraciones . . . . . . . . . . 1.2.1 Demostraci´n Directa . . . . . . . . o 1.2.2 Reductio ad Absurdum . . . . . . .
2 Temas sobre Teor´ de Conjuntos ıa 19 2.1 Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19 3 L´gica Proposicional: Enfoque Cuantificacional o 27 3.1 Introducci´n a los Polinomios Booleanos . . . . . . . . . . . . 27 o 3.2 Funciones L´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 o 3.3 Cuantificadores: Definiciones y Aplicaciones . . . . . . . . . . 30 4 N´meros Reales u 4.1 Construcci´n Axiom´tica de R . . o a 4.1.1 Axiomas Algebraicos . . . 4.1.2 Axiomas de Orden . .. . 4.1.3 Axiomas de Completitud . 4.2 Tipos de Intervalos de R . . . . . 4.2.1 Intervalos Acotados . . . . 4.2.2 Intervalos no Acotados . . 4.3 Representaci´n Decimal: ¿Existen o 4.4 Densidad . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Cardinalidad . . . . . . . . . . . 3 33 33 34 36 37 39 39 40 41 42 43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .otras bases? . . . . . . . . . . . . . .
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4 4.5.1 Idea Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 ¿Discreto o continuo?: Cardinales . . . . 4.5.3 Otros Cardinales: Hip´tesis del Continuo o4.5.4 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Desigualdades I . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Potencias, Logaritmos y Ra´ ıces . . . . . 4.6.3 La Ecuaci´n Cuadr´tica . . . . . . . . . o a 4.6.4 Desigualdades II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ INDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 44 48 48 49 50 52 56 57
4.6
Introducci´n o
Parece natural, al comenzar el estudio de la ingenier´ que la necesidad ıa, de conocer ciertos componentes b´sicos de las ciencias (y no tan ciencias) a que fundamentan el funcionamiento del mundo es no menos que un objetivo trascendental: porque lo que estudien en las matem´ticas y f´ aısicas son conocimientos que, tal vez no expl´ ıcitamente, aparecer´n en lo que les reste a de vida. Usualmente (as´ lo confirman muchos prefacios de libros de matem´ticas) ı a los matem´ticos a la hora de escribir un libro para estudiantes, se encuena tran con el dilema de qu´ elegir: pedagog´ o rigidez matem´tica. No e ıa a es mi intenci´n comparar estos apuntes con obras consagradas de grandes omatem´ticos (v´ase [1]), sino estructurarlo de tal manera que compatibilice a e estas dos alternativas sin restarle atenci´n a ninguna de ellas. o Una y otra vez los ayudantes (o al menos los preocupados de mejorar) nos hemos encontrado con el grave problema que al sugerir libros a nuestros ayudados surge la pregunta: ¿Qu´ necesitas: de donde yo estudi´, del que e e yo estudiar´ ahora o del que todoel mundo estudia? Esta pregunta posee ıa una respuesta no trivial, dado que si sugiero el libro del que yo estudi´ estoy e comparando mi m´todo de aprendizaje con el de mi ayudado; si sugiero e el libro del que estudiar´ ahora, probablemente – debido a la cantidad de ıa conocimientos acumulados – no ser´ un buen material de apoyo pedag´gico ıa o para los alumnos; finalmente al recomendar el...
Mauricio Godoy Molina Ayudante del Departamento de Matem´ticas a Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Valpara´ Chile ıso,
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I Matem´ticas 021 a
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1 L´gica Proposicional:Enfoque Algebraico o 1.1 Propiedades, Definiciones y Teoremas . . . 1.1.1 Definiciones B´sicas . . . . . . . . . a 1.1.2 Leyes de la L´gica Binaria . . . . . o 1.2 Tipos de Demostraciones . . . . . . . . . . 1.2.1 Demostraci´n Directa . . . . . . . . o 1.2.2 Reductio ad Absurdum . . . . . . .
2 Temas sobre Teor´ de Conjuntos ıa 19 2.1 Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19 3 L´gica Proposicional: Enfoque Cuantificacional o 27 3.1 Introducci´n a los Polinomios Booleanos . . . . . . . . . . . . 27 o 3.2 Funciones L´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 o 3.3 Cuantificadores: Definiciones y Aplicaciones . . . . . . . . . . 30 4 N´meros Reales u 4.1 Construcci´n Axiom´tica de R . . o a 4.1.1 Axiomas Algebraicos . . . 4.1.2 Axiomas de Orden . .. . 4.1.3 Axiomas de Completitud . 4.2 Tipos de Intervalos de R . . . . . 4.2.1 Intervalos Acotados . . . . 4.2.2 Intervalos no Acotados . . 4.3 Representaci´n Decimal: ¿Existen o 4.4 Densidad . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Cardinalidad . . . . . . . . . . . 3 33 33 34 36 37 39 39 40 41 42 43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .otras bases? . . . . . . . . . . . . . .
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4 4.5.1 Idea Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 ¿Discreto o continuo?: Cardinales . . . . 4.5.3 Otros Cardinales: Hip´tesis del Continuo o4.5.4 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Desigualdades I . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Potencias, Logaritmos y Ra´ ıces . . . . . 4.6.3 La Ecuaci´n Cuadr´tica . . . . . . . . . o a 4.6.4 Desigualdades II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introducci´n o
Parece natural, al comenzar el estudio de la ingenier´ que la necesidad ıa, de conocer ciertos componentes b´sicos de las ciencias (y no tan ciencias) a que fundamentan el funcionamiento del mundo es no menos que un objetivo trascendental: porque lo que estudien en las matem´ticas y f´ aısicas son conocimientos que, tal vez no expl´ ıcitamente, aparecer´n en lo que les reste a de vida. Usualmente (as´ lo confirman muchos prefacios de libros de matem´ticas) ı a los matem´ticos a la hora de escribir un libro para estudiantes, se encuena tran con el dilema de qu´ elegir: pedagog´ o rigidez matem´tica. No e ıa a es mi intenci´n comparar estos apuntes con obras consagradas de grandes omatem´ticos (v´ase [1]), sino estructurarlo de tal manera que compatibilice a e estas dos alternativas sin restarle atenci´n a ninguna de ellas. o Una y otra vez los ayudantes (o al menos los preocupados de mejorar) nos hemos encontrado con el grave problema que al sugerir libros a nuestros ayudados surge la pregunta: ¿Qu´ necesitas: de donde yo estudi´, del que e e yo estudiar´ ahora o del que todoel mundo estudia? Esta pregunta posee ıa una respuesta no trivial, dado que si sugiero el libro del que yo estudi´ estoy e comparando mi m´todo de aprendizaje con el de mi ayudado; si sugiero e el libro del que estudiar´ ahora, probablemente – debido a la cantidad de ıa conocimientos acumulados – no ser´ un buen material de apoyo pedag´gico ıa o para los alumnos; finalmente al recomendar el...
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