Mate1

República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Ciclo Básico de Ingeniería
Matemática I
Semana 8: 29/10/2007 al 02/11/2007
Semana 9: 05/11/2007 al 09/11/2007

Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 7
Segundo Corte
Guía Nº 2

1. Obtención de la derivada de una función usando la definición


a. [JP] Probar que laderivada de f(x)=x2 es la función f’(x)=2x


Solución
[pic]
b. [LR] Dada y = sec x, calcular y’ usando la definición de derivada
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]





[pic]

[pic]

[pic]
[pic]

c. [LR] Dada [pic], Calcular f’(4) usando la definición de derivada
[pic]

[pic]=

[pic]

Simplificando:
[pic]

Al evaluar ellímite cuando [pic], la función [pic][pic], por tanto, para eliminar esta indeterminación debemos racionalizar el numerador, es decir multiplicar y dividir por: [pic]:

[pic][pic]
Simplificando [pic] nos queda:
[pic]

Evaluando el límite, nos queda:
[pic]

Una vez obtenida la función derivada podemos emplearla para hallar el valor particular de [pic]:

[pic]

d. [AA] Sea f(x)=ln(x)determine f ‘ (x) empleando la definición de derivada

Para ello recordemos algunas de las propiedades de los logaritmos y otras ecuaciones de interés:


Ln(a)-Ln(b)=Ln(a/b) (I)


Ln(a)+Ln(b)=Ln(ab) (II)


[pic] (III)

[pic] (IV)

[pic] (V)


La definición de derivada es: [pic]Aplicando la definición de límite a f(x)=ln(x) tenemos:

[pic]

Haciendo cambio de variable se tiene:

[pic], por lo que la expresión anterior = e.

Así tenemos que:

[pic]

e. [LR] Obtenido de [1]. Dada [pic], obtener [pic] usando la definición de derivada.


[pic]


f. [LR] Obtenido de [1]. Dada [pic], obtener f’(x), usando la definición dederivada.
[pic]


2. Obtención de la derivada de una función aplicando las reglas de derivación
a. [JP] Hallar la derivada de la función [pic]
Solución:

[pic]

= 2[pic]

= [pic]

b. [JP] Hallar la derivada de la función [pic]


Solución:Podemos resolver de dos formas:
a) Mediante la regla del producto.
[pic]


b) Mediante la regla de la potencia.
[pic]


c. [AD] Encontrar la derivada de la siguiente función polinomial:[pic]

Solución
Como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si[pic]entonces [pic]

Por lo que para la función planteada en el ejercicio:

[pic]
 Recordando que la derivada de una función potencia [pic]es [pic] y que la derivada de una constante es cero tendremos

[pic] 

Es decir [pic]

d. [AD] Encontrar la derivada de la siguiente función polinomial: [pic]
De forma similar al ejercicio anterior obtenemos:
[pic]
Como sabemos si f(x)=a v(x)donde a es constante se obtiene [pic]
[pic]
Por lo tanto:
[pic]
[pic]



e. [LCH] Dado: [pic]. Para cuáles valores de [pic]?
Solución:
Calculamos [pic] recordando que la derivada de la suma es la suma de las derivadas:
[pic]
Simplificando:
[pic]
Igualamos [pic]
[pic], los valores de x se encuentran factorizando, con la ecuaciónde segundo grado o aplicando Ruffini:

[pic]

f. [LCH] Dado: [pic]. ¿A qué es igual[pic]?

Solución:
Calculamos [pic]
[pic]
Evaluamos en [pic]
[pic]
[pic]

g. [LV] Encontrar la derivada del cociente de dos funciones polinomiales


[pic]

Solución

Como sabemos la derivada del...