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“UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGA”

INGENIERÍA DE SISTEMAS CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA II

PROFESOR: JAIMES SANTOS HILMER

TEMA: VECTORES EN EL PLANO Y ESPACIO

ROSA BALCAZAR ESCOBEDO

LIMA, 14 DE NOVIEMBRE DE 2010

CONCEPTO DEL VECTOR

Un vector queda definido cuando se dan dos puntos en un orden determinado; El primero se llama origen o punto deaplicación del vector y el segundo extremo.
La longitud del segmento determinado por los dos puntos es el módulo del vector, la recta a la que pertenece dicho segmento es su dirección y el sentido que sobre dicha recta determina el orden en que se dan los dos puntos es el sentido.
Para la escritura de vectores se utiliza la notación V, la notación V, sin flecha, indica módulo del vector.MAGNITUDES FÍSICAS DEL VECTOR.
VECTORIALES ESCALARES
SENTIDO DIRECCIÓN VALOR O MÓDULO.
FUERZA PESO
VELOCIDAD PRESIÓN
ACELERACIÓN ENERGÍA

DEFINICIONES:

En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).

En R2:

1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

2.el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
[pic]

Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores
a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representaciónde los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

[pic]

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.

En R3:

1. la suma de vectores se define por: sean a,b Є R3, entonces a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

2. el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3).

A. Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó ,es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:

a ∙ b = = (a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 + … + an · bn).

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

B. Definición: Sea a = (a1, a2, a3, …, an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud)del vector , representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = . Esto es:

[pic]

C. Definición: Sean a y b vectores en Rn, donde a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). La distancia entre a y b representada por d(a, b) está definida por:

[pic]

EJEMPLOS:

Ejemplo A: (para discusión): Halla el producto interno de:1. a = (1, 1) y b = (1, -1) en R2
2. a = (3, 5) y b = ( 6, 10) en R2
3. a = (2, -3, 6) y b = ( 8, 2, -3) en R3
4. a = (1, -2, -3) y b = (2, -5, 4) en R3

Ejemplo B: (para discusión): Calcula la norma de:

1. a = (2, 2) en R2
2. a = (1, 3, -2) en R3

[pic]Notas:

1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminalcoinciden, se dice que el vector no tiene dirección.

2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: ║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║.

3. Ejemplo para discusión: Sean a = (1, 5) y b = (3, 1). Compara ║a + b║ y ║a║ + ║b║.

Ejemplo C: (para discusión): Halla la distancia de:

1. a = (1, 7) y b = (6, -5) en R2
2. a = (3, -5, 4) y b = (6, 2, -1) en R3...
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