Mateiii

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
UNEFA-Núcleo Maracay

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18/03/2010

Introducción

Las matemáticas son una herramienta fundamental para el estudio del contexto que nos rodea y en el cual nos desenvolvemos diariamente.
Específicamente los puntos a tratar en elpresente trabajo juegan un papel fundamental para el estudio de nuestro universo a nivel matemático, como por ejemplo: las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales las cuales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática,la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuantica y muchos otros.
Así como también, es importante señalar el uso de la optimización de funciones el cual, es una aplicación directa del calculo diferencial y sirve para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones, la aplicación practica de los problemas de optimización es bien clara:calculo de superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma optima de determinadas figuras, etc.
Por ultimo estudiaremos las integrales múltiples, de las cuales se tienen aplicaciones geométricas y físicas, entre ellas están: el calculo del área de figuras planas, volúmenes de sólidos en el espacio, cálculos de masa, momentos estáticos de figuras planas, entre otros.

Derivadas parciales.La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables [pic] e [pic]podemos medir dos razones de cambio: una según cambia [pic], dejando a [pic] fija y otra según cambia [pic] , dejando a [pic]fija.
Suponga que dejamos variar sólo a [pic], dejando a [pic] fija, digamos[pic], en donde [pic] es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable [pic] , a saber [pic]. Si [pic] tiene una derivada en [pic] entonces la llamamos la derivada parcial de [pic]con respecto a [pic] en [pic].los límites de la definición   son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores:factorización, racionalización, regla de Hospital, etc.
En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes? Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría acabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendoconstantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.
La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783) publicaron separadamente varios artículosde dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.
Definición:
Sea [pic]una función de dos variables y sea [pic], entonces la derivada parcial de [pic]con respecto a [pic]en [pic]es...