Matemáticas secundaria 3ero ( 2do bimestre)

TEMA #8 Ecuaciones no lineales
1. Conocimientos previos:
Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

2. Introducción histórica

Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se handescifrado tales problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometría. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución de la ecuación: x2-x = 870

"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a 870, paraobtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación".

Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los siguientes pasos:

 
 

Del ejemplo mencionado anteriormente, se deduce que el método empleado para la solución erael de completación de cuadrados

3. ¿Qué son las ecuaciones no lineales?
Ecuaciones en las que la variable está elevada a una potencia mayor o igual a dos, encontramos que puede haber varios valores que satisfagan la ecuación, es decir, varias soluciones.
Las ecuaciones pueden clasificarse según los exponentes de su (s) variables(s). Si el mayor exponente al que está elevada lavariable es dos, se trata de una ecuación de segundo grado; si es tres, se trata de una ecuación de tercer grado, y así sucesivamente. Pero además, a las ecuaciones de segundo grado se les conoce como ecuaciones cuadráticas, y a las de tercer grado como ecuaciones cúbicas.
Para ecuaciones no lineales, es decir, ecuaciones en las que la variable esta elevada a una potencia mayor o igual a dos,encontramos que puede haber varios valores que satisfagan la ecuación, es decir, varias soluciones. El número de soluciones que podemos encontrar depende del grado de la ecuación por ejemplo:
Considera que la ecuación, x³ - x² - 2x = 0 , las tres soluciones, es decir, los tres valores de x que satisfacen la ecuación son: x = -1, x = 0, x = 2.

4. En distinto contextos:

Cuando elevamos al cuadradoun número nos da siempre un resultado positivo, independientemente del signo del número que se eleva al cuadrado. De este modo si tenemos dos números simétricos (+7 y -7 por ejemplo), al elevarse al cuadrado obtenemos el mismo resultado. Es por eso que una ecuación donde la variable está elevada al cuadrado puede tener dos soluciones, una negativa y otra positiva.

5. Ecuaciones de 3er gradoAunque a veces alguna ecuación no lineal, por ejemplo de grado 3, tenga una única solución, se considera que tiene tres soluciones repetidas, es decir para una ecuación de grado tres, las tres soluciones pueden ser la misma y se representan como una sola, por ejemplo:
x³ = 8, la única solución es x=2.

6. La forma general en las que se representan las ecuaciones de segundo grado es:
*Competas ax² + bx + c = 0
* Se resuelven por
* Tres métodos analíticos
* Trinomio cuadrado perfecto
* Factorización
* Formula general
* Método gráfico
* Incompletas
* Puras ax² + c = 0
* Se resuelven por método de despeje
* Mixtas ax² + bx = 0
Se resuelven porfactorización

7. Resolver ecuaciones por los distintos métodos

FORMULA GENERAL
Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 
  
  

Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 
    
  
 

x = -2 ± 6 
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6 
           2                  2 
 
   x...