Matemática Discreta

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NUMEROS NATURALES Y NUMEROS ENTEROS

Unidad 1

NUMEROS NATURALES Y NUMEROS ENTEROS

ELEMENTOS DE LOGICA
En esta primera unidad iniciamos el desarrollo de los contenidos de la asignatura haciendo una revisión de algunos conceptos que serán fundamentales para comprender luego otros temas propios de matemática discreta. Algunos de esos conceptos provienen de la lógica y sirven de base paraabordar los números enteros; otras nociones se refieren a los conjuntos, tema que resulta necesario para desarrollar muchos conceptos nuevos, propios de esta materia, por ejemplo, relaciones de orden, grupos y lenguajes. Comenzamos, entonces, con el repaso de los conceptos de lógica.

La lógica estudia métodos de razonamiento que separan los razonamientos válidos de los no válidos. El interés porel análisis de los razonamientos se debe a que en las ciencias de la computación deben aplicarse para lograr que los programas realicen lo que se pretende. Los razonamientos se basan en la enunciación de una secuencia proposiciones, que se conocen como premisas, para arribar a una conclusión.

Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar un valor de verdad.

Es decir que sonafirmaciones que pueden resultar verdaderas o falsas. Para denotarlas se utilizan letras minúsculas como p, q, r.

e

Por ejemplo: p: 1 + 1 = 2 q: 1 + 1 = 3 La proposición p es verdadera con lo que se escribirá de la forma: V(p) = V La proposición q es falsa y se escribe: V(q) = F Por el contrario, no son proposiciones enunciados tales como: “Hola”, “¿cómo estás?”, dado que no puede decirsenada acerca de su verdad o falsedad. Las proposiciones pueden ser simples o compuestas.

Las proposiciones simples son las proposiciones p, q, r. Las proposiciones compuestas se construyen con proposiciones simples y operadores que denominamos conectivos lógicos.

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Representamos los conectivos en el cuadro que sigue, con su respectivo nombrey modo de leerlo

Conectivo Se lee No Y O (inclusivo) Si ... entonces .... Si y sólo si O (exclusivo)

Nombre Negación Producto lógico o conjunción Suma lógica o disyunción Condicional Bicondicional Disyunción excluyente

Para obtener el valor de verdad de una proposición compuesta se utilizan tablas de verdad teniendo en cuenta como actúan los conectivos lógicos, según las siguientesdefiniciones: Negación: La negación p de p se define por medio de la siguiente tabla de verdad: p V F p F V

e

Por ejemplo: Sea p: hay un premio Nobel de ciencias de la computación. p: no hay un premio Nobel de ciencias de la computación. Conjunción: Sean p y q proposiciones, se llama conjunción de p y q, y se denota p corresponde la siguiente tabla de verdad: p V V F F q V F V F q, a laproposición p y q, y le

p

V F F F

q

e

Por ejemplo: Sean las proposiciones simples: p: 1 + 1 = 3 y q: una década tiene 10 años.

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Entonces la conjunción es: p q: 1 + 1 = 3 y una década tiene 10 años. Disyunción: Sean p y q proposiciones. Se llama disyunción de p y q, y se denota p corresponde la siguiente tabla de verdad: p V V F F q VF V F q, a la proposición p o q, y le

p

V V V F

q

e

Por ejemplo: Sean las proposiciones simples: p: 1 + 1 = 3 y q: una década tiene 10 años. Entonces la disyunción es: p q: 1 + 1 = 3 o una década tiene 10 años. Condicional: Sean p y q proposiciones, la proposición compuesta: si p, entonces q, se llama proposición condicional y se denota por p q. La proposición p se denominahipótesis (o antecedente) y la proposición q, conclusión (o consecuente). La tabla de verdad que corresponde es la siguiente: p V V F F q V F V F

p

V F V V

q

e

Por ejemplo: Sean las proposiciones simples: p: 1 + 1 = 3 y q: una década tiene 10 años. Entonces el condicional p q es: p q: Si 1 + 1 = 3 entonces una década tiene 10 años. ¿Te convence el valor de verdad del condicional en los...
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