Matemáticas para químicos

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UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Matem´ticas para Qu´ a ımicos

Jos´ Antonio Prado Bassas e Jos´ Antonio Prado Tendero e Juan Antonio Rivera Boza.

Dpto. An´lisis Matem´tico a a Universidad de Sevilla

P.P.R. 22 de Septiembre de 2008.

Edici´n: o A˜o: n I.S.B.N. U.R.L.

P.P.R. 2006 84-690-1271-1 http://asignatura.us.es/amatiqui/php/activos/pdf/matiqui.pdf

´ Indice
1. N´ meros reales ycomplejos u 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. El N´mero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.3. Consecuencias de los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Conjuntos inductivos. Los conjuntos N, Z y Q . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 8 9

1.5. Consecuencias delaxioma de supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Intervalos. Topolog´ de la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ıa 1.7. Valor absoluto. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8. Introducci´n de los n´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o u 1.9. C cuerpo no ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 13 1.10. Expresi´n bin´mica de un n´mero complejo. Operaciones. Complejo conjuo o u gado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.11. M´dulo y argumento. Forma trigonom´trica de un n´mero complejo . . . . 15 o e u 1.12. Exponencial y logaritmo de un n´mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . 17 u Ejercicios y Problemas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Funciones reales. L´ ımites y continuidad 21

2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Funciones polin´micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 o 2.2.2. Funcionesracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Funciones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4. Funci´n exponencial y funci´n logar´ o o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.5. Funciones circulares o trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e 2.2.6. Funciones circulares inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.2.7. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.8. Funciones trasladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

2

PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)

2.3. L´ ımite de una funci´n. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 o 2.3.1. L´ ımites en x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2. L´ ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3. L´ ımites infinitos en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4. L´ ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Continuidad. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ejercicios y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Derivadas. Polinomio de Taylor 35

3.1. Derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35 o ´ 3.2. Algebra de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Derivada de la funci´n compuesta y de la funci´n inversa . . . . . . . . . . 36 o o 3.4. Funciones con derivada no nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37...
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