Matematica discreta

PROBABILIDAD FUNDACION UNIVERSITARIA PANAMERICANA EJEMPLOS EJERCICIOS DE PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS UTILIZANDO EL PROGRAMA R.

4.2 En una distribución binomial, sea x el número de éxitos obtenidos en diez ensayos donde la probabilidad de éxito n cada uno es 0.8. Con el resultado del problema anterior, demostrar que la probabilidad de obtener de manera exacta seis éxitos es igual a laprobabilidad de obtener cuatro fracasos. Resultado anterior ( Se solicita comprobar que ( ) ( ) ) ( )

Para ello utilizamos R y comparamos los resultados ( )

> dbinom(4, 10, 0.8, log = FALSE) [1] 0.005505024 ( )

> dbinom(6, 10, 0.2, log = FALSE [1] 0.005505024 Al comparar los resultados se encuentra que los valores son iguales 4.6 supóngase que la probabilidad de tener una unidad defectuosaen una línea de ensamble es de 0,05.Si el número de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades dos se encuentren defectuosas? ( )

> dbinom(2, 20, 0.05, log = FALSE) [1] 0.1886768 b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, dos como límite se encuentren defectuosas? ( ( ) ) ( ) ( )

Hallamos lasprobabilidades por separado > dbinom(0, 20, 0.05, log = FALSE) [1] 0.3584859 > dbinom(1, 20, 0.05, log = FALSE) [1] 0.3773536 ( )

> dbinom(2, 20, 0.05, log = FALSE) [1] 0.1886768 Sumando los valores 0.3584859 + 0.3773536 + 0.1886768 =0.9206087 Por otro método > sum(dbinom(0:2, 20, 0.05)) [1] 0.9245163 c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? ( ) ( ( ( Otro método ( ) )) ) ( )

> sum(dbinom(1:20, 20, 0.05)) [1] 0.6415141

La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo en órbita, funcione de manera adecuada es de 0.9. Supóngase que cinco de estos se colocan en órbita y operan de manera independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, por lo menos, el 80% funcionen adecuadamente? ( ) ( ) ( )

> sum(dbinom(4:5, 5, 0.9)) 0.91854 b) responder a)si ( ) ( ) ( ) ( )

> sum(dbinom(8:10, 10, 0.9)) 0.9298092 c) responder a) si
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

> sum(dbinom(16:20, 20, 0.9)) 0.9568255 d) ¿Son inesperados estos resultados? ¿Por qué? Sí, porque se esperaba que fueren iguales ya que se preguntaba por el 80% y la probabilidad continuaba constante.

4.10 Supóngase que un examen contiene 15 preguntas de tipo falso o verdadero. El examense aprueba contestando correctamente por lo menos 9 preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad para cada pregunta ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

> sum(dbinom(9:15, 15, 0.5)) 0.3036194
( )

4.16 El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por experiencia que el 15% de las personas quereservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25

reservaciones pero sólo dispone de 20 mesas, ¿Cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? Sea
( la probabilidad de que asistan ) ( ( ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

> sum(dbinom(21:25, 25, 0.85)) 0.682107 ( ( Otra forma: ( ) ) )

> sum(dbinom(0:20, 25, 0.85))
( )4.18 El número de clientes que llega al banco es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿Cuál es la probabilidad de que, en un minuto lleguen por lo menos tres clientes? ¿Puede esperarse que la frecuencia de llegada de los clientes al banco sea constante en un día cualquiera?

( a) ( ( > dpois(0, 2, log = FALSE) 0.1353353 )

)

) ( ( ) ( ) ( ))

>dpois(1, 2, log = FALSE) 0.2706706 dpois(2, 2, log = FALSE) 0.2706706 La suma de los terminus es: > sum(dpois(0:2, 2, log = FALSE)) [1] 0.6766764 ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ))

(0.1353353 + 0.2706706 + 0.2706706) = 1-0.6766764= 0.32332336

b) No ya que las probabilidades de que en un minuto llegue cierto número de clientes en diferente (por ejemplo entre 1 y 5) como lo muestra la siguiente tabla....