Matematica financiera

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Unidad 11



Anualidades Simples Anticipadas

INTRODUCCION Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al inicio del periodo de renta. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos anuales (primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina; algunos planes de crédito estipulan que los pagos deben realizarse al comienzo de los periodosconvenidos, etcétera. En este capítulo se estudiarán las anualidades anticipadas simples y ciertas. Se recuerda al lector que una anualidad es simple cuando el periodo de capitalización coincide con el periodo de pago, razón por la cual no es necesario especificar explícitamente el periodo de capitalización en un problema dado. La anualidad es cierta cuando los pagos comienzan y terminan en fechasdeterminadas. La diferencia entre una anualidad ordinaria y una anticipada se puede ver gráficamente en los siguientes diagramas de tiempo:

Obsérvese que la anualidad anticipada comienza con un pago y concluye un periodo después de que se haya cubierto el último pago. Por tal motivo, el n-ésimo pago gana intereses por un periodo debido a que fue depositado al inicio del último periodo. MONTO Y VALORACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A través de un ejemplo se verá la forma en que se acumula el dinero en una anualidad simple, cierta y anticipada. Se depositan $ 100.00 al inicio de cada mes en un banco que paga el 2% mensual capitalizable en forma mensual. ¿Cuál será el monto después de 5 depósitos?

Si F representa el monto de la anualidad, se puede formar la siguiente ecuación de valor:

Elvalor actual de la anualidad se puede obtener calculando el valor actual del monto, esto es:

El valor presente de una anualidad anticipada tiene las mismas interpretaciones que el valor presente de una anualidad ordinaria. La deducción de la fórmula para obtener el monto de una anualidad anticipada se lleva a cabo generalizando el ejemplo anterior. Sea A el pago hecho al principio de cada unode n periodos y j% la tasa de interés por periodo (i, en forma decimal).

El primer pago se realiza al inicio del primer periodo, por tal motivo ganará intereses por n periodos; el segundo pago ganará intereses por (n - 1) periodos, etc. El último pago genera intereses por un periodo. Si la fecha focal se escoge en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la anualidad anticipada vienedado por:

La expresión que se encuentra entre los corchetes es una progresión geométrica, donde:

Sustituyendo la expresión anterior por la expresión que se encuentra entre los corchetes se tiene:

La fórmula general para obtener el valor actual de una anualidad anticipada se puede obtener al calcular el valor actual del monto, usando la ecuación (7.2):

EJEMPLO 9.1 Un profesionistadeposita $ 470.00 al principio de cada mes, en una cuenta de inversión. Si la tasa de interés es del 23.64% capitalizable cada mes, a) Obtenga el monto al cabo de 4 años. b) ¿Cuál es el interés ganado en los 4 años? c) Calcule el valor presente de la anualidad. SOLUCIÓN

EJEMPLO 9.2 Una compañía constructora debe invertir durante los próximos 5 años, al comienzo de cada mes, $ 15,000.00 en un fondopara la depreciación de su maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de 5 años, si ha estado produciendo el 27% capitalizable cada mes? Si los depósitos mensuales se hicieran al final de cada mes, ¿cuál sería el monto? SOLUCIÓN

EJEMPLO 9.3 La póliza de un seguro de vida estipula que se entregue al beneficiario de éste un pago de $ 5,000.00 al comienzo de cada mesdurante 12 años. ¿Cuál es el valor presente de esta anualidad, si la tasa de interés es del 2.35% mensual? SOLUCION

EJEMPLO 9.4 Utilice el problema anterior y compare el valor actual de la anualidad anticipada con el valor actual si fuera anualidad ordinaria. SOLUCION Si la anualidad fuera ordinaria, entonces:

El valor presente de la anualidad anticipada es $ 4,823.67 ($ 210,086.33 - $...
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