Matematica II santa maria Parabola resuelto

TRABAJOS PRÁCTICOS 9. PARÁBOLA
(RESUELTO)

MATEMÁTICA II
Cátedra: SANTA MARIA

TRABAJO PRACTICO
CÓNICAS PARÁBOLA

CÓNICAS: PARÁBOLA
1) Hallar las coordenadas del vértice y del foco y de la ecuación de la directriz de las
siguientes parábolas y representarlas gráficamente:

a) ‫ = ݕ‬ସ ‫ ݔ‬ଶ − 2‫1 + ݔ‬
Se trata de una parábola con Vértice en ܸሺℎ; ݇ሻ y eje focal paralelo al eje ‫,ݕ‬completando
cuadrados se obtiene una ecuación de la forma:
ଵ

ሺ‫ − ݔ‬ℎሻଶ = 2‫݌‬ሺ‫݇ − ݕ‬ሻ

1
1
‫ ݔ = ݕ‬ଶ − 2‫ = 1 − ݕ ⇒ 1 + ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ − 8‫ݔ‬ሻ
4
4
1
‫ = 1 − ݕ‬ሺ‫4 − ݔ‬ሻଶ − 4
4
4ሺ‫3 + ݕ‬ሻ = ሺ‫4 − ݔ‬ሻଶ

Coordenadas del Vértice: ܸሺ4; −3ሻ
Coordenadas del Foco: ‫ܨ‬ሺ4; −2ሻ
Directriz: ‫4− = ݕ‬

2 MATEMÁTICA II.

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CÓNICAS PARÁBOLA

b) ‫ ݕ= ݔ‬ଶ + 6‫3 + ݕ‬

Se trata de una parábola con eje focal paralelo al eje ‫ ݔ‬y vértice ܸሺℎ; ݇ሻ, completando
cuadrados debemos llegar a una ecuación de la forma:
1
‫ − ݔ‬ℎ = ܽሺ‫݇ − ݕ‬ሻଶ ܿ‫= ܽ ݊݋‬
2‫݌‬
En nuestra expresión:
‫ ݕ = ݔ‬ଶ + 6‫3 + ݕ‬
‫ ݕ = 3 − ݔ‬ଶ + 6‫ݕ‬
‫ = 3 − ݔ‬ሺ‫3 + ݕ‬ሻଶ − 9
‫ = 6 + ݔ‬ሺ‫3 + ݕ‬ሻଶ

Coordenadas del Vértice: ܸሺ−6; −3ሻ
ଶଷ
Coordenadas del Foco: ‫ܨ‬ቀ− ସ ; −3ቁ
Directriz: ‫− = ݔ‬

ଶହ
ସ

2) Hallar la ecuación de la parábola:
ଵ
a) Con foco en ቀ0; − ସቁ y directriz 4‫0 = 1 − ݕ‬

La ecuación de la directriz es: ‫ = ݕ‬ସ ⇒ − ଶ + ݇ = ସ
El eje focal es ‫0 = ݔ‬
ଵ
௣
Las coordenadas del foco: ቀ0; − ସቁ = ቀℎ; ଶ + ݇ቁ
ଵ

3 MATEMÁTICA II.

௣

ଵ

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CÓNICAS PARÁBOLA
Por lo tanto,formamos el siguiente sistema de ecuaciones:
‫݌‬
1
− + ݇ = ሺ1ሻ
4
൞ 2
‫݌‬
1
+ ݇ = − ሺ2ሻ
4
2

Despejando ݇ de la ecuación (2) y reemplazando en la ecuación (1) se obtiene:
‫݌‬
1 ‫݌‬
1
1
− + ൬− − ൰ = ⇒ ‫− = ݌‬
2
4 2
4
2

De lo anterior se concluye que:

Siendo: ‫ − = ݌‬ଶ se tiene que: ݇ = 0
ଵ

ℎ=0
‫݌‬
1
+݇ =−
2
4

Por lo tanto, el vértice seencuentra en: ሺ0; 0ሻ y ‫ − = ݌‬ଶ
ଵ

Así, la ecuación de la parábola será:

ሺ‫ − ݔ‬ℎሻଶ = 2‫݌‬ሺ‫݇ − ݕ‬ሻ
‫ ݔ‬ଶ = −‫ݕ‬

Es decir:

b) Con vértice en ሺ−4; 3ሻ y foco en ሺ−4; 1ሻ

Las coordenadas del foco están dadas por: ቀℎ; ଶ + ݇ቁ donde ℎ = −4 y ݇ = 3
௣

Entonces: ଶ + ݇ = 1 ⇒ ଶ = 1 − 3 ⇒ ‫4− = ݌‬
௣

௣

La ecuación de la parábola será:

Es decir:

4 MATEMÁTICA II.ሺ‫ − ݔ‬ℎሻଶ = 2‫݌‬ሺ‫݇ − ݕ‬ሻ
ሺ‫4 + ݔ‬ሻଶ = −8ሺ‫3 − ݕ‬ሻ
1
‫ݔ − = ݕ‬ଶ − ‫1 + ݔ‬
8

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CÓNICAS PARÁBOLA
c) Con eje paralelo al eje ‫ ,ݔ‬vértice en ሺ1; 3ሻ y pasa por el punto ሺ−1; −1ሻ
Por ser su eje focal paralelo al eje ‫ ,ݔ‬su ecuación tendrá la forma:
‫ − ݔ‬ℎ = ܽሺ‫݇ − ݕ‬ሻଶ ܿ‫= ܽ ݊݋‬
‫ܽ = 1 − ݔ‬ሺ‫3 − ݕ‬ሻଶ

Por pasar por el punto ሺ−1; −1ሻ secumple:
La ecuación será:

1
2‫݌‬

−1 − 1 = ܽሺ−1 − 3ሻଶ ⇒ ܽ = −
1
‫ − = 1 − ݔ‬ሺ‫3 − ݕ‬ሻଶ
8

1
8

3) Hallar las coordenadas del vértice y representar las parábolas de ecuación:
a) ‫ ݔ4− = ݕ‬ଶ − 3‫1 + ݔ‬

Completado cuadrados y operando se obtiene:
25
3 ଶ
‫−ݕ‬
= −4 ൬‫ + ݔ‬൰
16
8

Coordenadas del Vértice: ܸ ቀ− ଼ ; ଵ଺ቁ
ଷ ଶହ

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b) ‫ ݔ5 = ݕ‬ଶ + 2‫4 − ݔ‬
Completado cuadrados y operando se obtiene:
21
1 ଶ
‫+ݕ‬
= 5 ൬‫ + ݔ‬൰
5
5

Coordenadas del Vértice: ܸ ቀ− ହ ; − ହ ቁ
c) 3‫ ݕ‬ଶ − 8‫0 = 4 − ݕ21 − ݔ‬

ଵ

ଶଵ

Completado cuadrados y operando se obtiene:
3
ሺ‫2 − ݕ‬ሻଶ = ‫2 + ݔ‬
8

Coordenadas del Vértice: ܸሺ−2; 2ሻ
6 MATEMÁTICA II.

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CÓNICAS PARÁBOLA
4) Los cables que soportan los tirantes de un puente colgante adoptan la forma de una
parábola cuando el peso se distribuye uniformemente en forma horizontal. La distancia
entre dos torres es de 150 metros, los puntos de soporte del cable en las torres, se hallan a
22 m sobre la calzada, y el punto más bajo del cable se encuentra a 7 metros sobre dicha...