Matematica olimpica

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APUNTES DE ´ MATEMATICAS OL´ IMPICAS
Equipo Torneo El N´mero de Oro u Santiago de Chile, 2008

Auspicia:

1

Presentaci´n o
Chile cuenta con excelentes alumnos para competir en los Torneos de Matem´ticas, a tanto a nivel Nacional como Internacional, sin embargo, los que en el pa´ obtienen ıs buenos resultados (Medallas de Oro) cuando compiten con alumnos de otros pa´ ıses sus logros sonm´s bien escasos. Estamos convencidos que entre las causas de esa ta situaci´n se encuentran: la falta de entrenadores calificados, de entrenamientos o constantes y sistem´ticos (la mayor´ no entrena y los que lo hacen tienen un par a ıa de horas de dedicaci´n a la semana) y la falta de material de apoyo (no hay Libros o con los contenidos de las pruebas Ol´ ımpicas de Matem´ticas). El pocomaterial que a se puede conseguir no est´ al alcance de la mayor´ y quien tiene la posibilidad de a ıa conseguir alg´n texto lo reserva para s´ u ı. El apunte que tienen en sus manos pretende aportar con un granito de arena a la preparaci´n de los j´venes que participan en la primera versi´n del Torneo de Mao o o tem´ticas “El N´mero de Oro” que realizamos con la Universidad de las Am´ricas. a u eEncontrar´n una recopilaci´n de problemas que buscan desarrollar las habilidades a o de quienes quieran ocuparlo; resolvimos algunos y dejamos propuestos otros, con una pincelada de la base te´rica necesaria. o El texto es el producto de un trabajo extraordinario realizado con entusiasmo y cari˜o por un equipo de j´venes con experiencia en matem´ticas ol´ n o a ımpicas y mucho inter´s en difundir lapr´ctica de esta actividad. Contamos con Estefan´ Vidal e a ıa Henr´ ıquez, Sebasti´n Henr´ a ıquez Acosta, V´ ıctor Verdugo Silva y Rodrigo Chi Dur´n, a hoy estudiantes del Plan Com´n de Ingenier´ en la Universidad de Chile, Andr´s u ıa e Iturriaga Jofr´, estudiante del ultimo a˜o de Ingenier´ Civil Matem´tica de la e ´ n ıa a Universidad de Chile, todos con meritoria trayectoria ol´ ımpica. Ellosdestinan parte de su tiempo libre al entrenamiento de j´venes estudiantes para competencias o ol´ ımpicas. Alumnos avanzados y destacados ol´ ımpicos como Anibal Velozo Ruiz del Instituto Alonso de Ercilla, Sebasti´n Illanes Carrasco y Crist´bal Parraguez Cruzat a o del Instituto Nacional, han sido valiosos colaboradores. En forma muy especial debemos agradecer a Daniel Contreras Salinas,estudiante de Primer a˜o Medio del Instituto Nacional y destacado competidor Ol´ n ımpico, por su entrega a este trabajo con un valioso aporte en Geometr´ y, adem´s, poniendo a ıa a prueba modernos programas computacionales que ayudaron a que el texto resultase mejor. A Felipe Contreras Salinas, estudiante de tercer a˜o Medio del Instituto Nacional n y destacado competidor Ol´ ımpico, por suresponsabilidad en la edici´n General de o este Apunte, por su paciencia en la correcci´n de contenidos y ordenamiento de los o

2 temas, clave para que cumpli´semos con nuestro objetivo. e A Jorge Yutronic Fern´ndez, que crey´ en nuestro proyecto y nos abri´ las puertas a o o de la Universidad de las Am´ricas para realizarlo; y al profesor Bernardino S´nchez, e a Director del Centro de Excelencia para laDocencia Universitaria de esa Universidad, que ha puesto entusiasmo para que se concretaran los aportes materiales para la realizaci´n del primer torneo de matem´ticas “El N´mero de Oro”. o a u Menci´n aparte para Marianela Palma Guzm´n, amiga de muchos a˜os, por la o a n confianza que infundi´ siempre de que todo esto debe ser posible por su convicci´n o o de que se lo debemos a los j´venes comosociedad y como pa´ Esta versi´n Beta o ıs. o del Apunte est´ dedicada a todos ellos. a Juan Contreras Garrido Organizador y realizador del Proyecto “El N´mero de Oro” u www.elnumerodeoro.cl Santiago, Agosto de 2008

Indice

1. Teor´ de N´ meros ıa u 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Problemas Introductorios . . . . . . . . . . . . . . ....
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