Matematica para economistas

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I.Modelo de duopolio de Bertrand
En este caso el planteamiento es muy similar al anterior, pero se supone que
las empresas producen artículos diferenciados, y pueden elegir el precio al que
los venden. Lo que es elástico en este planteamiento es la demanda, de modo
que la demanda de un producto sea menor cuánto mayor sea el precio de éste y
menor sea el del otro producto, es decir, puedahaber una sustitución en algún
sentido de un producto por otro.

Para ilustrar lo que ocurre en este caso, sea la demanda del producto i de la
forma [pic], donde b denota hasta qué punto una empresa es
sustituta de la otra. Supóngase que el coste de producción es proporcional a la
cantidad producida (no costes fijos), constante y el mismo para ambas
empresas, c . El espacio de estrategias eneste caso es de nuevo [pic], ya
que los precios han de ser mayores o iguales que 0. En este caso, si consideramos
como funciones de pagos los márgenes de contribución, tenemos
[pic],
y por lo tanto, para encontrar el punto de equilibrio habrá que resolver los problemas
[pic].
Derivando en cada uno de ellos
respecto a la variable que puede controlar, e igualando a 0, se tiene
[pic]
yresolviendo el
sistema formado por estas dos ecuaciones, el resultado final para el punto de
equilibrio resulta ser
[pic]

II.Arbitraje de oferta final. Modelo de Farber

Este modelo fue desarrollado para una situación de negociación salarial. Esta
situación se plantea como que existe una oferta de salario por parte de la
empresa y otra por parte del sindicato. Para llegar a una solución,resulta
habitual nombrar a un árbitro, aunque las reglas del arbitraje pueden variar, de
modo que en el sistema convencional el árbitro elige cualquier valor, mientras
que en un arbitraje de oferta final como el que aquí se plantea el árbitro ha de
elegir una de las dos ofertas.






Se puede suponer que el árbitro, si está bien elegido, tendrá un valor que
sería el deseado por él, peroque es desconocido tanto por la empresa como por
el sindicato, y que de las dos ofertas elegirá aquella que sea más cercana a ese
valor. Por otra parte, aunque el valor deseado por el árbitro sea desconocido,
supondremos que es conocida para ambas partes la distribución de probabilidad
de ese valor.
Para concretar, sea [pic] la oferta de la empresa, [pic] la oferta del sindicato(obviamente, será [pic]), y [pic] el valor deseado por el árbitro, que tiene
función de densidad [pic]y de distribución [pic].

En estas condiciones, la probabilidad de que la oferta de la empresa sea elegida es

[pic],
y la de que lo sea la oferta del sindicato
[pic].

Así pues, el problema que se plantea la empresa es determinar su oferta para
minimizar el salario esperado, es decir,
[pic]mientras que el sindicato quiere maximizarlo, es decir, su objetivo es
[pic].
Derivando e igualando a 0 en ambos problemas, se obtienen las ecuaciones
[pic]
[pic] .
Resolviendo este sistema, se llega a que el punto medio entre ambas ofertas ha de ser la mediana de la distribución,
es decir,





[pic], y la distancia entre las dos ofertas
[pic].

III. Cálculo de la solución coninformación perfecta y finitas etapas:
inducción hacia atrás.
El siguiente paso es, una vez que sabemos qué queremos obtener como
solución, tener un procedimiento para encontrarla. Un método relativamente
sencillo es el método de inducción hacia atrás. Sea un juego dinámico no
cooperativo con información completa. Además para poder aplicar la
metodología que se va a ver, ha de suponerse que eljuego es de información
perfecta y con finitas etapas. La metodología sería:
1) Calcular para el último jugador la función de mejor respuesta en cada
nodo de decisión previo, es decir, en cada nodo dar cuál sería la mejor
respuesta del jugador al que le toca jugar. Si suponemos dos jugadores y
[pic] la estrategia del jugador 1, y [pic] la estrategia del jugador 2, definimos

como función...
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