Matematica tema 1

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Definici´n o

Ecuaciones Diferenciales Parciales
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı

July 1, 2010

Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales

Definici´n o

Definici´n o
Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que involucran derivadas parciales de una o m´s variables dependientes con respecto a a uno a m´s variables independientes. Enparticular nos interresaremos en a las ecuaciones lineales en dos variables, las cuales tienen la forma: A(x, y ) δ2 u δ2 u δu δ2 u + B(x, y ) + C (x, y ) 2 + D(x, y ) 2 δx δxδy δy δx +E (x, y ) δu + F (x, y )u = G (x, y ) δy

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Definici´n o

Soluci´n por integraci´n o o

De acuerdo con los cursos de c´lculo recordemos quecuando se integra a una derivada parcial aparece una funci´n arbitraria en lugar de una o constante de integraci´n. o

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Definici´n o

Soluci´n por integraci´n o o

De acuerdo con los cursos de c´lculo recordemos que cuando se integra a una derivada parcial aparece una funci´n arbitraria en lugar de una o constante deintegraci´n. o Por ejemplo, la soluci´n de δu = 0 es u = f (y ), donde f es una funci´n o o δx diferenciable.

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Definici´n o

Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION:

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Definici´n o

Ejemplo
Resolver laecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y:

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Definici´n o

Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y: δu = f (x) δy

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Definici´n o

EjemploResolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y: δu = f (x) δy y nuevamente:

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Definici´n o

Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y: δu = f (x) δy y nuevamente: u = yf (x) + g (x)

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Definici´n o

Resuelva:

δ2 u δu + = 1. δxδy δy

´ RESOLUCION:

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Definici´n o

Resuelva:

δ2 u δu + = 1. δxδy δy

´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y la ecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx

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Definici´n o

Resuelva:

δ2 u δu + = 1. δxδy δy

´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y la ecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx y resolvemos como si fuera una ecuaci´n ordinaria: un factor integrante o ser´ e x ıa

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Definici´n o

Resuelva:

δ2 u δu + = 1. δxδy δy

´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y laecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx y resolvemos como si fuera una ecuaci´n ordinaria: un factor integrante o ser´ e x ıa δ x (e v ) = e x . δx

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Definici´n o

Resuelva:

δ2 u δu + = 1. δxδy δy

´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y la ecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx y resolvemos como si fuera una ecuaci´nordinaria: un factor integrante o ser´ e x ıa δ x (e v ) = e x . δx Luego v = 1 + F (y )e −x

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Definici´n o

Usando la sustituci´n original e integrando con respecto a y resulta o u = y + f (y )e −x + g (x) donde se escribi´ f (y ) = o F (y )dy

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