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Gráfica de funciones de dos variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.Definición (gráfica de funciones de dos variables)

La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir,

Observación : La gráfica de una función de dos variables puedeinterpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en lasuperficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en (figura 1).

Figura 1.

[ver en ambiente 3D]

Ejemplo 1

Trace la gráfica de la función

Solución
Lagráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).

Figura 2.

[Ver en ambiente 3D]

Observación : el paraboloide anterior tiene su eje de simetría paralelo al eje, es de esperar que un paraboloide como tenga su eje de simetría paralelo al eje .
Ejemplo 2
Trace la gráfica de la función .
Solución

Esta es otra de las gráficas que usaremos con muchafrecuencia, se trata de un plano y + z = 2, su gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Superficies
Debido a que muchas de las superficies con las que trabajaremos no provienen de unafunción , es necesario extender nuestra definición de gráfica.

Definición (superficie)

La gráfica de la ecuación es el conjunto de puntos tales que satisfacen ésta ecuación. Usualmente nosreferimos a la gráfica de una ecuación como una superficie .

Definición (traza de una superficie)
La traza de una superficie en el plano , es la curva que resulta de la intersección entreambos.

Ejemplo 3

Compruebe que la traza de la esfera

sobre el plano es una elipse.
Solución

Para hallar la ecuación de la traza debemos resolver el siguiente sistema

que resulta ser...
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