Matematica

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Wiki: Serie armónica (matemática)
En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:
Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra esproporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Propiedades
1. 1. Divergencia de la serie armónica
La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (losprimeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

[pic]
que está claro quediverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales. De hecho, es laprueba que se suele enseñar a los estudiantes, ya que es bastante elemental.
Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar(véase la demostración aquí).
1. 2. Convergencia de la serie armónica alternada
La serie armónica alternada, sin embargo, converge:
[pic]
Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor dellogaritmo natural.
• La serie armónica es la serie
[pic]
La serie armónica es divergente.

serie geométrica
Suma de una serie geométrica, es decir, una serie a1 + a2 + a3 +... en la que los términos forman una secuencia geométrica.
La suma de los primeros n términos se puede obtener de la siguiente manera:
|Sn |= a1 + a2 + a3 + ...an |
| |= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn-1 |
| |= a1 (rn - 1)/(r - 1) |

en la que r es la relación común.
• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término seobtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):
[pic]
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:...
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