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LA INTEGRAL DE RIEMANN

En este tema se introduce el C´lculo Integral que adem´s de permitir calcular longia a tudes, areas y vol´menes, tiene multiples aplicaciones en la Ciencias, Ingenier´ etc... ´ u ıa, En primer lugar, consideramos una funci´n f : [a, b] −→ R tal que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] o y pretendemos calcular el area delimitada por la gr´fica de f, las rectas x = a, x = b y ´ a el ejeOX. En primer lugar introducimos el concepto de partici´n de un intervalo. o Definici´n. Dado un intervalo [a, b], una partici´n de [a, b] es un conjunto finito o o P = {x0 , x1 , . . . , xn } tal que a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b. A los intervalos [xi , xi+1 ], i = 0, 1, . . . n − 1 se les llama intervalos de la partici´n P. o Se define diametro de la partici´n P a δ(P) = max{|xi+1 − xi |, i =0, 1, . . . , n − 1}. o Claramente en ese caso δ(P 0 ) ≤ δ(P). Dadas dos particiones P, P 0 de [a, b], diremos que P 0 es m´s fina que P si P ⊆ P 0 . a

Introducimos la suma superior y la suma inferior de Riemann de una funci´n asociada o a un partici´n. o Definici´n. Sea f : [a, b] −→ R y P = {x0 , x1 , . . . , xn } una partici´n de [a, b]. Se o o define la suma inferior de Riemann de f para lapartici´n P como: o s(P, f, [a, b]) =
n−1 X i=0

mi (xi+1 − xi )

1

Juan Medina Molina

Universidad Polit´cnica de Cartagena e

donde mi = inf{f (x) | x ∈ [xi , xi+1 ]}, 0 ≤ i ≤ n − 1 y la suma superior de Riemann de f como: S(P, f, [a, b]) =
n−1 X i=0

Mi (xi+1 − xi )

donde Mi = sup{f(x) | x ∈ [xi , xi+1 ]}, 0 ≤ i ≤ n − 1. fina que P entonces:

a Claramente, si f : [a, b] −→R, P y P 0 son particiones de [a, b] tales que P 0 es m´s s(P, f, [a, b]) ≤ s(P 0 , f, [a, b]) S(P 0 , f, [a, b]) ≤ S(P, f, [a, b]).

y

Definici´n. Sea f : [a, b] −→ R y (Pn )∞ una sucesi´n de particiones de [a, b] o o n=1 a tales que Pn+1 es m´s fina que Pn , n = 1, 2, . . . , ∞ y limn→∞ δ(Pn ) = 0. Se dice que f es integrable Riemann o integrable en [a, b] si existen y coinciden los l´ımites limn→∞ s(Pn , f, [a, b]) = limn→∞ S(Pn , f, [a, b]). A este valor se le llama integral de Rb ımites Riemann o integral de f en [a, b] y se denota a f(x)dx. A a y a b se les llaman l´ Ra de integraci´n. Diremos que a f (x)dx = 0. o particiones m´s finas luego las sumas inferiores de Riemann se aproximan cada vez m´s a a por defecto al ´rea comprendida entre la gr´fica f (x), el eje OX, la recta x =a y la recta a a x = b y con las sumas superiores nos aproximamos por exceso. As´ si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y f es integrable Riemann, ı, Rb
a

Notar que si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], al aumentar n consideramos cada vez

f (x)dx coincide

con el area determinada por la gr´fica de f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b. ´ a Se obtienen los siguientes resultados: Teorema. Sif : [a, b] −→ R es continua entonces f es integrable en [a, b]. Teorema. Si f : [a, b] −→ R es una funci´n acotada y tiene como m´ximo un n´ mero o a u finito de puntos de discontinuidad entonces f es integrable en [a, b]. 2

Juan Medina Molina

Universidad Polit´cnica de Cartagena e

Propiedades elementales de la integral de Riemann Proposici´n. Sea f : [a, b] −→ R integrable y c ∈ [a,b]. Entonces f (x) es integrable o Rc Rb Rb Riemann en [a, c] y [c, b] y a f (x)dx = a f(x)dx + c f (x)dx. Proposici´n. Sean f, g : [a, b] −→ R integrables y α ∈ R. Entonces: o i) f + g es integrable en [a, b] y Z
b

(f(x) + g(x))dx =

a

Z

b

f(x)dx +
a

Z

b

g(x)dx.
a

ii) αf es integrable en [a, b] y Z
b

αf(x)dx = α
a

Z

b

f (x)dx.

a

iii) Si f(x) ≥ 0para todo x ∈ [a, b] entonces: Z
b a

f(x)dx ≥ 0.

iv) Si f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces: Z
b

a

f (x)dx ≥

Z

b

g(x)dx.

a

v) |f | es integrable en [a, b] y Z
b

a

|f (x)|dx ≥ |

Z

b

f(x)dx|.

a

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Juan Medina Molina

Universidad Polit´cnica de Cartagena e

Teorema Fundamental del C´lculo integral. Sea f : [a, b] −→ R una funci´n a o Rx...
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