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Semana 4

Límites

Facultad de Ingeniería Industrial

1.

Comprendiendo el Concepto de Límite

La noción de límite es fundamental en matemática superior, podemos atrevernos a decir que sin el concepto de límite no podríamos hablar de matemática superior. Consideremos la siguiente situación: un tren de pasajeros se desplaza a lo largo de una vía enforma de línea recta, digamos que el desplazamiento (en metros) es modelado por la función d = f (t) = 6t2 , 0 ≤ t ≤ 20

donde t se mide en segundos, por ejemplo las posición en los segundos t = 0, 1, 2, 3, . . . , 20 son f (0) = 0, f (1) = 6, f (2) = 24, f (3) = 54, ..., f (20) = 2400

0

6

24

54

2400

lo que haremos a continuación es analizar la velocidad cuando el tren acelera amedida que transcurre el tiempo. Por ejemplo, averiguemos ¿Cuál es la velocidad promedio cuando han transcurrido t = 2 segundos? Para aproximarnos a la velocidad promedio veamos que sucede entre los segundos 2 y 4, osea, el intervalo [2, 4] desplazamiento f (4) − f (2) 6(4)2 − 6(2)2 96 − 24 = = = = 36 4−2 4−2 2 tiempo transcurrido o sea, 36 m/s. Aunque esta no es la velocidad del tren en el instantet = 2, provee una aproximación para la velocidad en ese instante.

Veamos a continuación como mejorar esto. Sea t > 2, entonces la velocidad promedio del tren sobre el intervalo [2, t] es dada por f ( t ) − f (2) 6( t )2 − 6(2)2 6( t2 − 4) = = (1.1) t−2 t−2 t−2 Usando la ecuación (1.1) y utilizando la sucesión t = 2.5, 2.1, 2.01, 2.001, y 2.0001 la cual se aproxima a 2, entonces vpr =6(2.52 − 4) = 27 m/s 2.5 − 2 6(2.12 − 4) la velocidad promedio sobre [2, 2.1] es = 24.6 m/s 2.1 − 2 la velocidad promedio sobre [2, 2.5] es Las otras aproximaciones se muestran el la siguiente tabla

t vpr sobre [2, t]

2.5 27

2.1 24.6

2.01 24.06

2.001 24.006

2.0001 24.0006

También podemos hacer el mismo procedimiento para t < 2, entonces la velocidad promedio del tren sobre elintervalo [t, 2] es dada por f ( t ) − f (2) 6( t )2 − 6(2)2 6( t2 − 4) = = (1.2) t−2 t−2 t−2 Usando la ecuación (1.2) y utilizando la sucesión t = 1.5, 1.9, 1.99, 1.999, y 1.9999 la cual se aproxima a 2, entonces vpr =

6(1.52 − 4) = 21 m/s 1.5 − 2 6(1.92 − 4) la velocidad promedio sobre [1.9, 2] es = 23.4 m/s 1.9 − 2 la velocidad promedio sobre [1.5, 2] es 2

Las otras aproximaciones se muestranel la siguiente tabla

t vpr sobre [t, 2]

1.5 21

1.9 23.4

1.99 23.94

1.999 23.994

1.9999 23.9994

Observamos de las tablas anteriores que cuando t se aproxima a 2, la función f (t) = 6t2 se aproxima a 24. A partir de esta situación podemos decir que el límite de la función f (t) cuando t se aproxima a 2 es 24. Escribimos esto mediante l´m f (t) = l´m ı ı 6( t2 − 4) = 24 t→ 2t−2

t→ 2

y
La gráfica de la función f se muestra a la derecha. Notemos que 2 no está en el dominio de g, por esta razón el punto (2, 24) no está en la gráfica de g y es indicado por un círculo abierto en la gráfica.

18 12

3

x

Notemos que la existencia o no existencia de g(t) en t = 2 juega un rol importante en el cálculo del límite.

Vamos a acercarnos de manera informal al conceptode límite: damos un número real a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasar que f no esté definida en a).
3

Definición 1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f ( x ) cuando x tiende al número a es L y escribimos
x→ a

l´m f ( x ) = L ı

significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f ( x ) está bien próximo de L.

y
La curva en lafigura derecha representa el gráfico de una función f . El número a está en el eje x y el límite L en el eje y. Cuando x se aproxima al número a en el eje x, entonces f ( x ) se aproxima a L en el eje y.

f (x( L f (x( x x y a x

Ejemplo 1.1. Sea f ( x ) = x + 1 y a = 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1 se aproxima a 1 + 1 = 2. Haciendo L = 2 concluímos que
x→ 1

f (x ( 2 f (x (

l´m ( x +...
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