Matematica

Guía de clases Nº 3
Matemáticas PREUAH.
Números reales (R), Razón y proporción.

1. Números Reales:


Los números reales se dividen en los Racionales (Q) y los Irracionales (II ó Q*).

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Dentro de los números reales están los que ya hemos visto: Los Naturales (N), los Enteros (Z), y los Racionales (Q); pero a estos se agregan unos nuevos, los denominados números Irracionales:En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

Ejemplos de números Irracionales: π ; ℮ ; ѵ2 ; ѵ3 ; etc.

Propiedades de los números Reales (R):
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Números Reales:

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2. Razón yProporción:

Razón: Es el cociente entre dos cantidades; en una razón el numerador es igual al antecedente y el denominador es igual al consecuente.
Ej: 36/12=3; 36 antecedente; 12 consecuente y 3 es la razón.

Proporción: Es una igualdad entre dos razones; se escribe a/b = c/d; y se lee a es a b como c es a d; en donde a y d son los extremos y b y c los medios.

Teorema fundamental de lasproporciones: En toda proporción se verifica que el producto de los medios es igual al de los extremos; es decir: a/b=c/d ⇒ a*d=b*c.

Propiedades:

• a/b=c/d ⇒ d/b=c/a
• a/b=c/d ⇒ b/a=d/c
• a/b=c/d ⇒ c/d=a/b
• (a+b)/a=(c+d)/c ó (a+b)/b=(c+d)/d
• (a-b)/a=(c-d)/c ó (a-b)/b=(c-d)/d
• (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)

Tipos de proporciones:

• Proporción discontinua:Es aquella que tiene todos sus términos desiguales: Ej:21/3=49/7.
• Cuarta proporcional: Es cada uno de los términos de una proporción discontinua:
Del mismo ejemplo afirmamos: 49 es la cuarta proporcional entre 21, 7, 3; el 3 es la cuarta proporcional entre 21, 7, 49… así sucesivamente.
• Proporción continua: Es la que tiene los medios o los extremos iguales: Ej:4/6=6/9
• Terceraproporcional geométrica: Es cada uno de los términos no repetidos de una proporción continua: Del ejemplo anterior afirmamos: 4 es una tercera proporcional entre 6 y 9; y 9 lo es entre 6 y 4.
• Media proporcional geométrica: Es el termino que se repite en una proporción continua: Ej: en el mismo ejemplo anterior 6 es la media proporcional entre 4 y 9.
• Serie de razones o proporciones: sitenemos: a/b=k; c/d=k; e/f=k… etc. Podemos escribir: a/b=c/d=e/f=…=k. Ésta también se puede escribir (a:c:e=b:d:f).
• Teorema: del punto anterior: K=a/b=c/d=e/f=(a+c+e)/b+d+f)


Proporcionalidad directa:
• X es directamente proporcional a Y si al aumentar (disminuir) Y, x aumenta disminuye) en la misma proporción : X = k o x = K y K=cte


Proporcionalidad inversa:
• X esinversamente proporcional a Y si al aumentar (disminuir) Y, X disminuye (aumenta) en la misma proporción esto se escribe: X Y = K o X =K K=CTE
Ejercicios:


1. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4.3. Calcula el valor de cada número.
2. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kilos y están en la razón 7:4. calcula el peso de cada vehículo.
3. Las edades de Ana yJulia están en la razón 3:2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus edades es 80 años?
4. El perímetro de un rectángulo es 128 cm. y la razón entre la medida de sus lados es 5:3. Calcula su área.
5. Dos amigos deben repartirse $27.000 en la razón 5:4. ¿Cuánto dinero recibe cada uno?
6. Si a + b = 54 y a : 4 = b : 5, calcula los valores de a y b.
7. Si x – y = 21 y x : y = 7 : 4, calculax e y.
8. Calcula a y b, si 7/5 = a/b y a – b = 30.
9. Si a + b = 18 y a : 5 = b : 4, calcula a y b.
10. El dinero de dos personas están en la razón 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
11. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno.
12. Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la...