matematica
Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
las inc´ognitas no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ı, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x+ 2y + 6z = 6 es una ecuaci´on lineal con tres inc´ognitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 inc´ognitas representan una recta en el plano.Si la ecuaci´on lineal tiene 3 inc´ognitas, su representaci´on gr´afica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Sistema de ecuación lineal:
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a
11 ·x1
+ a
12 · x2
+a
13 · x3
+···+a
1n · x
n
= b
1
a
21 ·x1
+ a
22· x2
+a
23 · x3
+···+a
2n · x
n
= b
2
.
.
.
a
m1 · x1
+a
m2 · x2
+a
m3 · x3
+···+ a
mn ·x
n
= b
m
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas.
Los n´umeros reales aij se denominan coeficientes y los xi
se denominan inc´ognitas (o n´umeros a
determinar) y b
j se denominan t´erminos independientes.
En el caso de que las inc´ognitas sean 2 se suelendesignar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3
pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las inc´ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
del sistema simult´aneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Consiste en multiplicarecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de lasecuaciones que se suman.
[editar] Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sutituyendo por uno en la primeraecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es .
Texto en negrita'Texto en cursiva
[editar] Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
Delas dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación
no contendría dicha incognita.
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por susolución en otras ecuaciones dode aparezca para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.
[editar] Ejemplo
El sistema de ecuaciones
es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
que es unaecuación con una sola incognita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es .
[editar] Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la...
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